Giải Thử thách nhỏ trang 15 SGK Toán 9

Lời giải

Xét phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ (với $a\neq 0$).

Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào dấu của biệt thức:
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$

a) Đánh giá dấu của $\Delta$ khi $a$ và $c$ trái dấu

- Vì $a$ và $c$ trái dấu nên tích $ac < 0$.
- Suy ra $-4ac > 0$.
- Mặt khác $b^2 \ge 0$ với mọi giá trị của $b$.

Do đó:
$$\Delta = b^2 - 4ac > 0.$$

b) Kết luận về nghiệm

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy: Nếu $a$ và $c$ trái dấu thì phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt (với mọi giá trị của $b$).

Kiểm tra lại bằng ví dụ: Xét $x^2 + x - 6 = 0$ có $a=1,\ c=-6$ trái dấu. Ta có $\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25 > 0$, phương trình có hai nghiệm $x_1 = 2,\ x_2 = -3$ — đúng là hai nghiệm phân biệt.

Đáp số