Giải Bài 6.19 trang 21 SGK Toán 9

Lời giải

a) $x^2 - 2\sqrt{5}\,x + 1 = 0$

Đây là phương trình bậc hai với $a = 1$, $b = -2\sqrt{5}$ (nên $b' = -\sqrt{5}$), $c = 1$.

Dùng công thức nghiệm thu gọn:
$$\Delta' = b'^2 - ac = (-\sqrt{5})^2 - 1\cdot 1 = 5 - 1 = 4 > 0.$$

Vì $\Delta' > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta có $\sqrt{\Delta'} = 2$, do đó:
$$x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{\sqrt{5} + 2}{1} = \sqrt{5} + 2,$$
$$x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{\sqrt{5} - 2}{1} = \sqrt{5} - 2.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1 = \sqrt{5} + 2 \approx 4{,}24$ và $x_2 = \sqrt{5} - 2 \approx 0{,}24$.

b) $3x^2 - 9x + 3 = 0$

Chia cả hai vế cho $3$, ta được phương trình tương đương:
$$x^2 - 3x + 1 = 0.$$

Phương trình này có $a = 1$, $b = -3$, $c = 1$.

Dùng công thức nghiệm:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 9 - 4 = 5 > 0.$$

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2},$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2{,}62$ và $x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}38$.

c) $11x^2 - 13x + 5 = 0$

Phương trình có $a = 11$, $b = -13$, $c = 5$.

Dùng công thức nghiệm:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4\cdot 11\cdot 5 = 169 - 220 = -51 < 0.$$

Vì $\Delta < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) $2x^2 + 2\sqrt{6}\,x + 3 = 0$

Phương trình có $a = 2$, $b = 2\sqrt{6}$ (nên $b' = \sqrt{6}$), $c = 3$.

Dùng công thức nghiệm thu gọn:
$$\Delta' = b'^2 - ac = (\sqrt{6})^2 - 2\cdot 3 = 6 - 6 = 0.$$

Vì $\Delta' = 0$ nên phương trình có nghiệm kép:
$$x_1 = x_2 = \frac{-b'}{a} = \frac{-\sqrt{6}}{2}.$$

Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx -1{,}22$.

Đáp số