Giải Vận dụng trang 71 SGK Toán 9

Lời giải

Gọi $O$ là tâm đường tròn, $A$ là điểm (vị trí máy quay) nằm trên đường tròn, $B$, $C$ là hai điểm giới hạn tầm nhìn. Khi đó $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$, còn $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm cùng chắn cung $BC$ đó.

Bước 1. Xét tam giác $OBC$ để tìm góc ở tâm $\widehat{BOC}$.

Vì $B$, $C$ nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $2$ cm nên:
$$OB = OC = 2 \text{ (cm)}.$$

Ta so sánh $OB^2 + OC^2$ với $BC^2$:
$$OB^2 + OC^2 = 2^2 + 2^2 = 8,$$
$$BC^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8.$$

Vậy $OB^2 + OC^2 = BC^2$, nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác $OBC$ vuông tại $O$. Do đó:
$$\widehat{BOC} = 90^\circ.$$

Bước 2. Dùng mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung.

Góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung $BC$ (cung nhỏ). Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó:
$$\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{BOC} = \dfrac{1}{2}\cdot 90^\circ = 45^\circ.$$

Kiểm tra lại: Vì $\widehat{BOC}=90^\circ$ và $OB=OC$ nên tam giác $OBC$ vuông cân, cho $BC = OB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ cm — đúng với dữ kiện. Vậy kết quả $\widehat{BAC}=45^\circ$ là hợp lí.

Kết luận: $\widehat{BAC} = 45^\circ.$

Đáp số