Giải Thử thách nhỏ trang 24 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận xét về ý kiến của Tròn.

Xét phương trình Tròn đưa ra: $x^2 + x + 1 = 0$ (với $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$).

Nếu chỉ nhìn theo định lí Viète một cách hình thức thì:

- Tổng các nghiệm: $S = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{1} = -1$;
- Tích các nghiệm: $P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{1} = 1$.

Hai số $-1$ và $1$ đúng là hai số đối nhau. Thoạt nhìn có vẻ Tròn đúng.

Tuy nhiên, muốn nói tới *tổng và tích các nghiệm* thì trước hết phương trình phải có nghiệm. Ta kiểm tra biệt thức:
$$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0.$$

Vì $\Delta < 0$ nên phương trình $x^2 + x + 1 = 0$ vô nghiệm. Đã vô nghiệm thì không có nghiệm nào để lập tổng và tích, nên định lí Viète không áp dụng được. Do đó không đồng ý với ý kiến của Tròn: phương trình đó không thỏa mãn yêu cầu của Vuông.

Tìm một phương trình đúng.

Gọi hai nghiệm cần tìm có tổng $S$ và tích $P$. Yêu cầu "tổng và tích là hai số đối nhau" nghĩa là $S = -P$. Ngoài ra phương trình phải thực sự có nghiệm, tức là $\Delta = S^2 - 4P \ge 0$.

Chọn $S = 1$ và $P = -1$ (khi đó $S = -P$, thỏa mãn hai số đối nhau). Theo định lí Viète đảo, hai số có tổng $S = 1$ và tích $P = -1$ là nghiệm của phương trình:
$$x^2 - Sx + P = 0 \;\Leftrightarrow\; x^2 - x - 1 = 0.$$

Kiểm tra lại: phương trình $x^2 - x - 1 = 0$ có $\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot(-1) = 1 + 4 = 5 > 0$ nên có hai nghiệm phân biệt. Theo Viète:
$$S = -\dfrac{-1}{1} = 1, \qquad P = \dfrac{-1}{1} = -1.$$
Tổng là $1$, tích là $-1$ — đúng là hai số đối nhau, và phương trình có nghiệm thật sự. Vậy $x^2 - x - 1 = 0$ là một phương trình thỏa mãn yêu cầu.

Đáp số