Giải Vận dụng trang 25 SGK Toán 9

Lời giải

Tình huống mở đầu (Bài 20 — Định lí Viète và ứng dụng): Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $28$ m và diện tích bằng $40$ m$^2$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Lời giải.

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là $u$ (m) và $v$ (m), với điều kiện $u>0$, $v>0$.

Nửa chu vi của mảnh đất là $\dfrac{28}{2}=14$ (m), nên tổng hai kích thước là:
$$u+v=14.$$

Diện tích mảnh đất bằng $40$ m$^2$ nên tích hai kích thước là:
$$u\cdot v=40.$$

Như vậy $u$ và $v$ là hai số có tổng $S=14$ và tích $P=40$. Theo định lí Viète đảo, $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
$$x^2-Sx+P=0\ \Longleftrightarrow\ x^2-14x+40=0.$$

Giải phương trình $x^2-14x+40=0$:
$$\Delta=(-14)^2-4\cdot 1\cdot 40=196-160=36>0,\qquad \sqrt{\Delta}=6.$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$$x_1=\frac{14+6}{2}=10,\qquad x_2=\frac{14-6}{2}=4.$$

Cả hai nghiệm đều dương nên đều thỏa mãn điều kiện. Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta chọn $u=10$ (m) và $v=4$ (m).

Kiểm tra: Chu vi $=2(10+4)=28$ m; diện tích $=10\cdot 4=40$ m$^2$, đúng với đề bài.

Kết luận: Mảnh đất có chiều dài $10$ m và chiều rộng $4$ m.

Đáp số