Giải Bài 9.5 trang 72 SGK Toán 9
Đề bài
Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ và điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Cho hai đường thẳng $SA$, $SB$ lần lượt cắt $(O)$ tại $M$ (khác $A$) và $N$ (khác $B$). Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$ (H.9.10). Chứng minh rằng $SP$ vuông góc với $AB$.
Mô tả hình bằng lời
Hình 9.10: Đường tròn tâm $O$ với đường kính $AB$ (thẳng đứng, $A$ ở trên, $B$ ở dưới). Điểm $S$ nằm ngoài đường tròn bên phải. Đường thẳng $SA$ cắt đường tròn tại $M$, đường thẳng $SB$ cắt đường tròn tại $N$. Đoạn $BM$ và $AN$ cắt nhau tại $P$ bên trong đường tròn.
Lời giải
Chuẩn bị. Vì $AB$ là đường kính của $(O)$ nên mọi góc nội tiếp chắn $AB$ (tức chắn nửa đường tròn) đều là góc vuông.
Bước 1. Chứng minh $BM \perp SA$.
Góc $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp của $(O)$ chắn nửa đường tròn (chắn đường kính $AB$), nên:
$$\widehat{AMB} = 90^\circ.$$
Do đó $BM \perp AM$. Mà $M$ nằm trên đường thẳng $SA$, suy ra $BM \perp SA$.
Bước 2. Chứng minh $AN \perp SB$.
Tương tự, góc $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính $AB$), nên:
$$\widehat{ANB} = 90^\circ.$$
Do đó $AN \perp BN$. Mà $N$ nằm trên đường thẳng $SB$, suy ra $AN \perp SB$.
Bước 3. Dùng tính chất trực tâm của tam giác $SAB$.
Xét tam giác $SAB$:
- $BM$ đi qua đỉnh $B$ và vuông góc với cạnh $SA$ (Bước 1), nên $BM$ là một đường cao của tam giác $SAB$.
- $AN$ đi qua đỉnh $A$ và vuông góc với cạnh $SB$ (Bước 2), nên $AN$ là một đường cao của tam giác $SAB$.
Theo giả thiết, $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$, tức $P$ là giao điểm của hai đường cao. Vậy $P$ là trực tâm của tam giác $SAB$.
Vì ba đường cao của một tam giác cùng đi qua trực tâm, nên đường thẳng $SP$ (nối đỉnh $S$ với trực tâm $P$) chính là đường cao thứ ba của tam giác $SAB$, kẻ từ đỉnh $S$. Do đó:
$$SP \perp AB.$$
Vậy $SP$ vuông góc với $AB$ (đpcm).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.