Giải Hoạt động 3 trang 74 SGK Toán 9

Lời giải

a) Dựng hình

- Đường trung trực $a$ của $AB$: là đường thẳng đi qua trung điểm $N$ của $AB$ và vuông góc với $AB$ tại $N$.
- Đường trung trực $b$ của $AC$: là đường thẳng đi qua trung điểm $P$ của $AC$ và vuông góc với $AC$ tại $P$.
- Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại $M$.

b) $MN$, $MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

Vì $a$ là đường trung trực của $AB$ nên $a \perp AB$ tại $N$. Mà tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC \perp AB$. Hai đường thẳng $a$ và $AC$ cùng vuông góc với $AB$ nên:
$$a \parallel AC.$$
Đường thẳng $a$ đi qua trung điểm $N$ của cạnh $AB$ và song song với cạnh $AC$, nên theo tính chất đường trung bình, $a$ đi qua trung điểm của cạnh $BC$.

Tương tự, $b$ là đường trung trực của $AC$ nên $b \perp AC$ tại $P$; mà $AB \perp AC$, do đó:
$$b \parallel AB.$$
Đường thẳng $b$ đi qua trung điểm $P$ của cạnh $AC$ và song song với cạnh $AB$, nên $b$ cũng đi qua trung điểm của cạnh $BC$.

Vì cả hai đường thẳng $a$ và $b$ đều đi qua trung điểm của $BC$, mà $M$ là giao điểm của $a$ và $b$, nên $M$ chính là trung điểm của $BC$.

Khi đó:
- $MN$ nối trung điểm $M$ của $BC$ với trung điểm $N$ của $AB$ $\Rightarrow$ $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ (và $MN \parallel AC$).
- $MP$ nối trung điểm $M$ của $BC$ với trung điểm $P$ của $AC$ $\Rightarrow$ $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ (và $MP \parallel AB$).

c) $M$ là trung điểm của $BC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Theo lập luận ở câu b), $M$ là giao của hai đường trung trực nên nằm trên cả $a$ và $b$, đồng thời là trung điểm của cạnh huyền $BC$. Do đó:
$$MB = MC = \dfrac{BC}{2}.$$

Mặt khác, $M$ nằm trên đường trung trực $a$ của $AB$ nên $MA = MB$; $M$ nằm trên đường trung trực $b$ của $AC$ nên $MA = MC$. Suy ra:
$$MA = MB = MC = \dfrac{BC}{2}.$$

Vậy ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng cách điểm $M$ một khoảng bằng $\dfrac{BC}{2}$. Do đó đường tròn tâm $M$ bán kính $\dfrac{BC}{2}$ đi qua cả ba đỉnh $A$, $B$, $C$, tức là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ và bán kính $R = MB = MC = \dfrac{BC}{2}$ (đpcm).

Đáp số