Giải Bài 6.49 trang 32 SGK Toán 9

Lời giải

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ (điều kiện để có hai số đó là $S^2 - 4P \ge 0$).

a) Hai số $u$ và $v$ có tổng $u + v = 13$ và tích $uv = 40$ nên $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình:

$$x^2 - 13x + 40 = 0.$$

Ta có $\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 3$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \frac{13 + 3}{2} = 8, \qquad x_2 = \frac{13 - 3}{2} = 5.$$

Vậy $u = 8,\ v = 5$ hoặc $u = 5,\ v = 8$.

*Thử lại:* $8 + 5 = 13$ và $8 \cdot 5 = 40$ (thỏa mãn).

b) Ta có $u - v = 4$ và $uv = 77$.

Đặt $t = -v$. Khi đó:

$$u + t = u - v = 4, \qquad u \cdot t = u \cdot (-v) = -uv = -77.$$

Hai số $u$ và $t$ có tổng bằng $4$ và tích bằng $-77$ nên $u$ và $t$ là hai nghiệm của phương trình:

$$x^2 - 4x - 77 = 0.$$

Ta có $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 18$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \frac{4 + 18}{2} = 11, \qquad x_2 = \frac{4 - 18}{2} = -7.$$

- Nếu $u = 11$ thì $t = -7$, suy ra $v = -t = 7$.

- Nếu $u = -7$ thì $t = 11$, suy ra $v = -t = -11$.

Vậy $u = 11,\ v = 7$ hoặc $u = -7,\ v = -11$.

*Thử lại:* Với $u = 11,\ v = 7$: $11 - 7 = 4$ và $11 \cdot 7 = 77$ (thỏa mãn). Với $u = -7,\ v = -11$: $-7 - (-11) = 4$ và $(-7) \cdot (-11) = 77$ (thỏa mãn).

Đáp số