Giải Luyện tập 2 trang 24 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Đổi 1 giờ 20 phút $= 80$ phút.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ (phút) và thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y$ (phút), điều kiện $x>0,\ y>0$.

Trong 1 phút, vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể.

Lập hệ phương trình.

- Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 80 phút, nên trong 1 phút cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{80}$ bể:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{80}.$$

- Vòi thứ nhất chảy 10 phút được $\dfrac{10}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy 12 phút được $\dfrac{12}{y}$ bể, tổng cộng được $\dfrac{2}{15}$ bể:
$$\dfrac{10}{x}+\dfrac{12}{y}=\dfrac{2}{15}.$$

Ta có hệ:
$$\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{80}\\[4pt]\dfrac{10}{x}+\dfrac{12}{y}=\dfrac{2}{15}\end{cases}$$

Giải hệ. Đặt $u=\dfrac{1}{x},\ v=\dfrac{1}{y}$ (với $u>0,\ v>0$), hệ trở thành:
$$\begin{cases}u+v=\dfrac{1}{80}\\[4pt]10u+12v=\dfrac{2}{15}\end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $u=\dfrac{1}{80}-v$. Thay vào phương trình thứ hai:
$$10\left(\dfrac{1}{80}-v\right)+12v=\dfrac{2}{15}$$
$$\dfrac{1}{8}+2v=\dfrac{2}{15}$$
$$2v=\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{16-15}{120}=\dfrac{1}{120}$$
$$v=\dfrac{1}{240}.$$

Suy ra $u=\dfrac{1}{80}-\dfrac{1}{240}=\dfrac{3}{240}-\dfrac{1}{240}=\dfrac{2}{240}=\dfrac{1}{120}.$

Do đó:
$$\dfrac{1}{x}=u=\dfrac{1}{120}\Rightarrow x=120;\qquad \dfrac{1}{y}=v=\dfrac{1}{240}\Rightarrow y=240.$$

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

Kiểm tra lại. Vòi 1 chảy 10 phút và vòi 2 chảy 12 phút được $\dfrac{10}{120}+\dfrac{12}{240}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{5+3}{60}=\dfrac{8}{60}=\dfrac{2}{15}$ (bể). Hai vòi cùng chảy 1 phút được $\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{240}=\dfrac{3}{240}=\dfrac{1}{80}$ (bể), tức đầy bể sau 80 phút $=1$ giờ 20 phút. Thỏa mãn đề bài.

Kết luận. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong $120$ phút (2 giờ), vòi thứ hai chảy đầy bể trong $240$ phút (4 giờ).

Đáp số