Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán 10 trường THPT chuyên Bắc Ninh

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

TỔ TOÁN – TIN

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ NĂM 2019

Môn thi: Toán 10 chuyên Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm).

Cho phương trình 2 2 8 42 55 4 23 33 m x x x x + + = + +

a) Giải phương trình khi 1. m =

b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có tâm . O Đường thẳng d quay quanh , O cắt hai cạnh AD và

BC lần lượt ở E và F (không trùng với các đỉnh của hình vuông). Qua E và F lần lượt

kẻ đường thẳng song song với BD và AC chúng cắt nhau tại .I Kẻ IH vuông góc với

EF tại . H Chứng minh rằng:

a) Điểm I chạy trên đoạn . AB

b) Điểm H thuộc đường tròn cố định và đường thẳng IH đi qua một điểm cố định.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hai số 2 0. a b > > Chứng minh rằng

( )( )

2 64 2 5. 2 3 a a b b + ≥ − +

Câu 4 (2,0 điểm). a) Cho tập { } 1,2,3,...,2020 . X = Chứng minh rằng trong số 1011 phần tử bất kì của tập X luôn có hai phần tử nguyên tố cùng nhau. b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn 5 1 n − chia hết cho .n Câu 5 (2,0 điểm). Giả sử phương trình ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ có các nghiệm 1 2 , . x x

Đặt 1 2 , . n n n S x x n = + ∈

a) Chứng minh: 1 2 0. n n n aS bS cS − − + + =

b) Áp dụng tính ( ) ( )

8 8 1 3 1 3 A = + + −

------------ Hết ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN TOÁN 10

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 (2điểm)

a) Khi 1, m = ta có phương trình 2 2 1 8 42 55 4 23 33 x x x x + + = + + ĐK

11 3; 4 x x ≠− ≠−

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2

2

2 5 4 11 4 11 3 1

2 5 3 4 11 1

4 10 4 12 4 11 8

PT x x x x

x x x

x x x

⇔ + + + + =

⇔ + + + =

⇔ + + + =

Đặt ( ) 2 4 3 ,( 0), x t t + = ≥ phương trình trở thành 2 1 33 8 0 , 2 t t t ± −− = ⇔=

đối chiếu đk,

ta có ( )

2 1 33 1 1 33 4 11 11 2 4 2 x x   + +   + = ⇔ = − ±    

1 điểm

b) Ta có ( )( )( ) 2 2 4 10 4 12 4 11 8 8 0 (1) x x x m t t m + + + = ⇒ −− =

với ( ) 2 4 11 , 0. t x t = + ≥

PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (1) có hai nghiệm

dương phân biệt

0 1 32 0 1 0 1 0 0. 32 0 8 0

t m

S m

P m

∆> + >     ⇔ > ⇔ > ⇔− < <     > − >  

1 điểm

Câu 2 (3điểm

a) Dễ dàng chứng minh được EFI ∆ vuông ở ,I và IO là trung tuyến thuộc

cạnh huyền , EF do đó OE OI = nên O nằm trên trung trực của EI

Mặt khác OA EI ⊥ nên OA là trung trực của . EI Nên AEI ∆ vuông cân tại A

Suy ra  0 45 . AIE = Tương tự  0 45 . BIF = Vậy     0 0 0 0 45 90 45 180 AIB AIE EIF BIF = + + = + + = suy ra , , I A B thẳng hàng

hay I AB ∈ (đpcm).

1 điểm

b) Ta có: AEHI và BFHI là các tứ giác nội tiếp. Suy ra

     0 0 0 45 , 45 90 . AHI AEI IHB IFB AHB = = = = ⇒ = Vậy H ∈ đường tròn

đường kính . AB (đpcm).

Gọi HI cắt đường tròn đường kính AB ở K , ta có   0 45 AHK BHK = = nên

K là trung điểm cung  AB suy ra K cố định. (đpcm).

2 điểm

Câu 3 1điểm Theo BĐT AM-GM: ( )( )( ) ( )( )( ) 1 2 3 3 4 2 3 3 2 a b b b a b b b − + + = − + +

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

3 3 3

2 3

3

2 3

4 2 3 1 4 2 3 3 64 6 2. 2 3 27 2 3 2 3

64 6 2 2 . (1) 2 3 2 3

a a b b b

a b b a

a a a b b a

+ − + + + +   ≤ = ⇒ ≥     − + +

  ⇒ + ≥ +     − + +  

Theo BĐT AM-GM ta có

1 điểm