Đề thi chọn HSG Toán 10 năm 2023 - 2024 trường THPT Tiên Lãng - Hải Phòng

1

SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT TIÊN LÃNG

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.

Ngày thi: 20/04/2024 (Đề thi gồm 06 câu; 02 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

1. Cho hàm số   2 2 4 y x m x     có đồ thị là  P và điểm   5;5 A  . Tìm m để đường

thẳng : d y x m  cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác OAMN

là hình bình hành (O là gốc tọa độ).

2. Một chiếc cầu được bắc qua sông. Để trợ lực cho cây cầu, người ta làm một vòm đỡ cong hình

parabol. Với hệ trục toạ độ xOh được gắn vào như hình vẽ, biết rằng khoảng cách giữa 2 chân

của vòm đỡ là 60 AB m  . Khoảng cách từ chân cầu (điểm C ) tới điểm O là 7m . Tại một

điểm cách chân cầu (điểm C )17m , người ta đo được khoảng cách từ mặt cầu xuống vòm đỡ là

5m .Tìm chiều cao tối đa h max của vòm đỡ (khoảng cách từ đỉnh vòm đến đường thẳngAB )

Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình

4 2 2 3

3 2 1

1

x x y x y

x y xy x

        

Câu 3 (2,5 điểm).

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn  2 2 : 2 8 8 0 C x y x y      . Viết

phương trình đường thẳng song song với đường thẳng : 3 4 2 0 d x y    và cắt đường tròn

theo một dây cung có độ dài bằng 6.

2.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh   A 3;1 , đỉnh C

nằm trên đường thẳng x y     : 2 5 0. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho

CE CD  , biết   N  6; 2 là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE . Xác định tọa

độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD .

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

Câu 4 (1,0 điểm).

Cột cờ Lũng Cú là một cột cờ quốc gia nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long

Sơn) có độ cao khoảng 1.700m so với mực nước biển, thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn,

tỉnh Hà Giang, nơi điểm cực Bắc của Việt Nam.

Để đo chiều cao của thân tháp cột cờ người ta đứng ở các vị trí , A B là hai điểm ở thung lũng

dưới núi cách nhau 15m (như hình vẽ) là hai vị trí được chọn để đặt giác kế nhìn đỉnh của thân

tháp O và đáy tháp C sao cho bốn điểm , , , A B C O đồng phẳng. Khi tiến hành quan sát người

đó đo được các góc   0 0 25,1 , 26,5 ; CAH CBH     0 0 28,5 ; 30 OAH OBH   (với H là hình

chiếu của O trên đường thẳng AB ). Tính chiều cao thân tháp cột cờ.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

2 . . . 6 a MAMB MB MC MC MA      

.

Câu 6 (2,0 điểm).

1. Đêm diễn văn nghệ chào mừng sinh nhật Đoàn 26 / 3năm học 2023 2024  tại một trường

trung học phổ thông X có 15 tiết mục gồm 7 tiết mục múa, 5 tiết mục tốp ca, 3 tiết mục đơn

ca. Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự các tiết mục biểu diễn sao cho tiết mục đầu tiên và tiết mục

cuối cùng là tốp ca, đồng thời không có hai tiết mục nào cùng thể loại biểu diễn liên tiếp nhau?

2. Tính tổng:   2 2 2 3 2 2 2025 2025 2025 2025 2025 2 3 ... 1 ... 2025 . k k S C C k C C      

---------------------------HẾT-------------------------