Đề thi Olympic Toán 10 năm 2023 - 2024 cụm Hà Đông Hoài Đức - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN 10 Ngày thi: 28/3/2024 Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (6,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số

 

  2

6 3

. 4 3

x y

x x

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị     2 : 3 P y x x m cắt đường thẳng

  2 2 y x tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn      2

1 2 1 2 8 .1 x x x x

c) Cho bất phương trình    3 6 3 6 . x x x x m        Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi        3;6 . x

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Cho tam giác ABC có    , , AB c AC b BC a thỏa mãn     

3 3 3

2 b c a a b c a . Tính góc

. BAC b) Cho tam giác ABC đều cạnh a và M là điểm di động trên đường thẳng . AB Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức       2 . T MA MB MC

Câu 3 (4,0 điểm). a) Giải phương trình   2 4 2 1 1 x x x x      .

b) Nhà máy dự định dùng hai loại nguyên liệu để sản xuất ít nhất 140 kg chất A và 18 kg chất B. Với mỗi tấn nguyên liệu loại I, nhà máy chiết xuất được 20 kg chất A và 1,2 kg chất B. Với mỗi tấn nguyên liệu loại II, nhà máy chiết xuất được 10 kg chất A và 3 kg chất B. Giá mỗi tấn nguyên liệu loại I là 8 triệu đồng và loại II là 6 triệu đồng. Hỏi nhà máy phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đạt mục tiêu đề ra. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp tối đa 9 tấn nguyên liệu loại I và 8 tấn nguyên liệu loại II.

Câu 4 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình

đường thẳng chứa cạnh AB là    2 2 0 x y , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là

2 1 0, x y    biết điểm   1;2 M thuộc đoạn thẳng BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho



. DB DC có giá

trị nhỏ nhất.

Câu 5 (4,0 điểm).

a) Cho tam giác ABC có ba cạnh    , , ; AB c BC a AC b độ dài các đường cao hạ từ đỉnh

; ; A B C lần lượt là ; ; a b c h h h thỏa mãn      sin sin sin . a b c a A b B c C h h h Chứng minh tam giác

ABC là tam giác đều. b) Xét các số thực , , x y z thỏa mãn đồng thời     0 1 x y z và    3 2 4, x y z tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức    2 2 2 3 2 S x y z .

…………. HẾT………… Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………………………………………. Chữ ký cán bộ coi thi số 1:………………………………..Chữ ký cán bộ coi thi số 2:……………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN 10 Ngày thi: 28/3/2024 HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm 1a (2 điểm) Tìm tập xác định của hàm số

 

  2

6 3

. 4 3

x y

x x

Điều kiện:

      

2 6 3 0

4 3 0

x

x x 0, 5

        

2

1 3

x

x x

        

2 2

1

3

x

x

x

     

2 2

1

x

x . 1,0

Tập xác định           2;2 \ 1 . D 0,5

1b (2 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị     2 : 3 P y x x m cắt đường thẳng …

Phương trình hoành độ giao điểm

          2 2 5 2 0 1 3 2 2 x x m x x m x 0,5

Ta có        25 4 2 33 4 m m . Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x

khi và chỉ khi      33 0 33 4 0 . 4 m m

0,5

Áp dụng định lí Vi ét cho phương trình (1) ta có

      

1 2

1 2

5 . 2 x x x x m

Theo đề ra ta có      2

1 2 1 2 8 1 x x x x

           2 2

1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 8 1 1 4 x x x x x x x x x x

0,5

             2 5 4 2 1 17 4 1 4. m m m (Thỏa mãn điều kiện). 0,5

1c (2 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

          3 6 3 6 x x x x m nghiệm đúng với mọi        3;6 x

Đặt    2 3 6 9 2 3 6 9. t x x t x x           (1)

Ta có:                    1. 3 1. 6 3 6 1 1 x x x x 3 2. t   (2)

Từ (1) và (2), suy ra 3 3 …