Đề Olimpic Toán 10 năm 2023 - 2024 cụm Thạch Thất Quốc Oai - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM THẠCH THẤT-QUỐC OAI

Kỳ thi Olimpic cấp Cụm các môn văn hóa

lớp 10 và 11 năm học 2023-2024

Môn: Toán 10 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh:.......................

Câu 1 (6 điểm)

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 4 3 y x x    .

b) Giải phương trình: 3 1 5 3 x x  .

Câu 2 (3 điểm) Cho bất phương trình 2 ( 1) 2 3 0 m x mx m     .

a) Giải bất phương trình khi 2 m  .

b) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 3 (3 điểm)

a) Cho tam giác ABC có các cạnh , ,CA AB c BC a b    thỏa mãn hệ thức

1 cos 2 1 cos 2 C b a C b a     

Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

b) Cho tam giác ABC có , 2 , 60o AB a AC a BAC     , trọng tâm G . Tính diện tích tam giác ABG.

Câu 4 (6 điểm)

a) Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 5 3 BD BC  và một điểm E thỏa

mãn 4 2 3 0 EA EB EC    . Chứng minh rằng ba điểm , , E A D thẳng hàng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD. Biết trung điểm của cạnh BC là điểm

(1;2) N , đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ADN có phương trình 5 1 0 x y   . Xác

định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCDbiết đỉnh A có hoành độ dương.

Câu 5 (2 điểm)

Cho tam giác ABC , biết 3, 4,CA 5 AB BC   . Điểm M thay đổi thuộc đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2. T MB MC MA   

-----------------Hết-----------------

(Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Chữ kí cán bộ coi thi số 1:................................Chữ kí cán bộ coi thi số 2:..........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – MÔN TOÁN – LỚP 10-NĂM HỌC 2023-2024

Câu Nội dung Điểm

1a

3đ

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 4 3 y x x = − +

- Lập đúng bảng biến thiên

x −∞ 2 +∞

y +∞ +∞

-1

1.5

Vẽ đúng đồ thị ( Vẽ được hình dáng của đồ thị nhưng còn một số sai sót nhỏ được 0.5 điểm)

1.5

1b

3đ

Giải phương trình: 3 1 5 3 x x + = − (1)

(1) 2 5 3 0

3 1 (5 3)

x

x x

− ≥  ⇔ + = − 

1.0

2

3 5 25 33 8 0

x

x x

≥  ⇔  − + = 

1.0

2

3 3 5 1 1 5 25 33 8 0 8 25

x x x x x x x

≥  ≥   ⇔ ⇔ ⇔ = =       − + =    =  

. PT đã cho có nghiệm x=1.

1.0

2a

1.5đ

Giải bất phương trình khi 2 m = .

2 2 4 1 0 m x x = ⇒ + −≥ 0.5

2 5

2 5

x

x

≥−+ ⇔ ≤−− 

.

0.5

BPT đã cho có tập nghiệm là( ; 2 5) ( 2 5; ) −∞−− ∪−+ +∞ 0.5

2b

1.5đ

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình đã cho có nghiệm.

1 2 2 0 1 m x x = ⇒ − ≥ ⇔ ≥ suy ra BPT có nghiệm, m = 1 thỏa mãn. 0.5

Với 1 m ≠ BPT đã cho vô nghiệm

2

2

( 1) 2 3 0

1 0

' ( 1)( 3) 0

1 1 3 3 4 3 0 4 4

m x mx m x

m

m m m

m m m m m

⇔ − + + − < ∀

−<  ⇔∆= − − − <  <  <   ⇔ ⇔ ⇔ <   − < <  

KL: Với 3 4 m ≥ thì BPT có nghiệm

0.5

0.5

3a

1.5đ

Cho tam giác ABC có các cạnh , ,CA AB c BC a b = = = thỏa mãn hệ thức:

1 cos 2 1 cos 2 C b a C b a + + = − −

Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Ta có

1 cos 2 1 cos 2 2 4 1 1 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 C b a C b a b C b a C b a C b a + + + + = ⇔+ = + ⇔ = − − − − − −

0,5

2 2 2 cos 2 cos b a b b C a b C ⇔ − = − ⇔ =

0.5

2 2 2

2 2 2 2

2 2 a b c a b ab a a b c b c

+ − ⇔ =

⇔ = + − ⇔ =

⇔Tam giác ABC cân tại A (đ.p.c.m)

0,5

3b

1.5đ

Cho tam giác ABC có , 2 , 60o AB a AC a BAC = = ∠ = , trọng tâm G. Tính diện tích tam giác ABG.

Ta có

2 , 2 , 60

1 3 . .sin 2 2

o

ABC

AB a AC a BAC

a S AB AC A ∆

= = ∠ =

= =

0,5

Gọi M là trung điểm của BC

1 1 2 2 3 3

ABM ABC

ABG ABC

ABG ABM

S S S S S S

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

 =  ⇒ ⇒ =   = 

0,5