Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2023 - 2024 trường THPT Nguyễn Gia Thiều - Hà Nội

TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10

VÒNG 1

Năm học 2023 - 2024

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (4 điểm)

Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 1 y f x x m x m = = − − +

1. Tìm m để bất phương trình ( ) 0 f x  nhận mọi x thuộc R là nghiệm.

2. Tìm m để phương trình ( ) 0 f x = có hai nghiệm x1, x2 lớn hơn 1.

Câu 2. (4 điểm)

1. Tìm m để phương trình 2 x 9 x x 9x m có nghiệm thực.

2. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 3 18 0. x x x x − − − + − =

Câu 3. ( 4 điểm)

1. Một hộ nông dân dự định trồng đậu và trồng cà trên diện tích

2 800m . Biết rằng cứ

2 100m trồng đậu cần 10 công và lãi là 7 triệu đồng, cứ

2 100m trồng cà cần 15 công và lãi là 9 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để lãi lớn nhất, biết tổng số công không vượt quá 90 công. 2. Một bác nông dân có 60m lưới muốn rào một mảng vườn hình chữ nhật để trồng rau, biết

rằng một cạnh là tường, bác chỉ cần rào 3 cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Em

hãy tính hộ diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể rào được?

Câu 4. ( 4 điểm)

1. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4.Gọi M là trung điểm cạnh AB và N trên

cạnh AD sao cho 1 8 AN AD = . Chứng minh CM BN ⊥

2. Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là điểm thuộc cạnh AC

sao cho NA = 2NC. Gọi K là giao điểm của MA và BN. Chứng minh rằng: AK = 6.KM

Câu 5. ( 4 điểm)

1. Cho tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng:

( )

2 2 2 2 . . 4 sin sin sin AB AC AB AC R A B C − =

2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của G

xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 . . . 0 a GA b GB c GC + + = . (với a=BC, b=AC,

c=AB).

……..……………..Hết……………………..

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1. (4 điểm)

1. Ta có:

2 1 0, ' 3 1 a m m =  = − +

2 3 5 3 5 ( ) 0 ' 0 3 1 0 ; 2 2 f x x m m m   − +    − +       (2 điểm)

2. Yêu cầu bài toán tương đương với ( )( )

( ) ( )

1 2

1 2

' 0

1 1 0

1 1 0

x x

x x

  − −    − + −  

(1 điểm)

( ) 1 2 1 2

1 2

3 5 3 5 ' 0 2 2 3 5 1 0 3 0 3 2 2 4 0 2 0

m m

x x x x m m

m x x

 − +         +   − + +   −         −  + −     (1 điểm)

Câu 2. ( 4 điểm)

1. Tìm m để phương trình 2 x 9 x x 9x m (1) có nghiệm thực.

ĐK 0 x 9

PT (1)

2 9 2 (9 ) 9 x x x x x x m  + − + − = − + + 2 2 9 2 9 9 x x x x m  + − + = − + + (2) ( 0,5 điểm)

Xác định điều kiện chặt cho t: Đặt

2 9 t x x = − + do 0 9 x   suy ra 9 0 2 t  ( 0,5 điểm)

Phương trình (2) trở thành 2 2 9 2 2 9 t t m t t m + = + − + + = (3)

Xét hàm số

2 ( ) 2 9 f t t t = − + + , 9 0 2 t  Bảng biến thiên ( 0,5 điểm)

Phương trình (1) có nghiệm   0;9 x  phương trình (3) có nghiệm 9 0; 2 t      

Từ BBT ta có 9 10 4 YCBT m −   ( 0,5 điểm)

2. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 3 18 0. x x x x − − − + − =

ĐK: x R  . Đặt

2 t x x = − ( 0,5 điểm) 2 (2) 2 24 0 t t  − − =

2 6 2 24 0 4 t t t t

=  − − = = − 

( 0,5 điểm)

2 4 4 0 t x x x = − − + =   ( 0,5 điểm)

2 3 6 6 0 2 x t x x x

=  =  − − = = − 

( 0 5 điểm) . Kết luận:Tập nghiệm   2;3 . S = −

Câu 3. (4 điểm)

1. Gọi x, y lần lượt là diện tích trồng đậu, diện tích trồng cà (đơn vị

2 100m )

0; 0; x+y 8 x y     (1) ( 0,5 điểm)

Vì tổng số công không quá 90 nên ta có 10 15 90 2 3 18 x y x y +   +  (2) ( 0,5 điểm)

Số tiền lãi tính bằng công thức 7 9 T x y = +

Ta có:

(1),(2) 7 9 3( ) 2(2 3 ) 3.8 2.18 60 T x y x y x y = + = + + +  + = ( 0,5 điểm)

Dấu bằng xảy ra 8 6 2 3 18 2 x y x x y y + = =       + = =  

T lớn nhất khi x=6, y=2

KL: Vậy trồng

2 600m đậu,

2 200m cà ( 0,5 điểm)

2. Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là ,x y (như hình vẽ); 0 , 60 x y   ( 0,5 điểm)

Ta có 2 60 60 2 x y y x + =  = − ( 0, 5 điểm) Diện tích hình chữ nhật là

2 1 1 2 60 2 (60 2 ) .2 (60 2 ) 2 2 2 x x S xy x x x x + −   = = − = −     

( 0,5 điểm)

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là ( ) 2 450 m , đạt được …