Đề HSG Toán 10 lần 14 năm 2023 hội các trường THPT chuyên DHĐB Bắc Bộ

Câu 1. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, tồn tại nhiều nhất một đa thức

( ) P x có bậc ,n hệ số thực và thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2 1 ; P x P x P x ax b + = + + với ,a b là các số thực cho trước.

Câu 2. (4,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 3. + + = a b c Chứng minh rằng

1. 2 2 2 + + ≤ + + + a b c b c a

Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O có AD là đường phân giác trong ( D thuộc BC ). Gọi , E F lần lượt là điểm chính giữa cung CA chứa B, cung AB chứa C của

đường tròn ( ) O . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB tại . M Đường tròn ngoại tiếp tam

giác CDF cắt AC tại . N

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , B M N C cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . AMN Gọi , AP AQ lần lượt là đường kính của

đường tròn ngoại tiếp tam giác , . ABN ACM Chứng minh rằng các đường thẳng , , BQ CP AI đồng quy.

Câu 4. (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên dương

, , a b c sao cho 2027 ( )( ) = + + n a bc b ac thì n là số chẵn.

Câu 5. (4,0 điểm) Một số nguyên dương m được gọi là “tốt” nếu tồn tại các số nguyên dương , , , a b c d

sao cho 49 ≤ < ≤ < ≤ + m a b c d m và . = ad bc

a) Chứng minh rằng số nguyên dương m là “tốt” khi và chỉ khi tồn tại hai số nguyên dương

,x y sao cho ≥ xy m và ( )( ) 1 1 49. + + ≤ + x y m

b) Tìm số “tốt” lớn nhất.

………………………HẾT………………………

Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh:……………………… Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 15 tháng 7 năm 2023

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1

Câu 1. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, tồn tại nhiều nhất một

đa thức ( ) P x có bậc ,n hệ số thực và thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ; P x P x P x ax b + = + + với ,a b

là các số thực cho trước.

(Dựa theo: THPT Chuyên Cao Bằng)

Điểm

Giả sử đa thức ( ) P x bậc n và thỏa mãn ( ) 1 , khi đó ( ) P x là đa thức monic. 0,5

Giả sử tồn tại đa thức ( ) Q x có hệ số thực, ( ) ( ) ( ) , deg ≠ = Q x P x Q x n và thỏa mãn ( ) 1 .

Khi đó đa thức ( ) ( ) ( ) = − R x P x Q x có ( ) deg 1 ≤ − R x n .

1,0

Do ( ) ( ) ( ) = + P x Q x R x thỏa mãn ( ) 1 nên

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2

. 1 1

. 1 . 1 . 1 . 1

. 1 . 1 . 1 2

 +  + + + = + + + + +    ⇒ + + + + + + +

= + + + + +

⇒ + + + + + = + +

Q x R x Q x R x Q x ax b R x ax b

Q x Q x Q x R x R x Q x R x R x

Q x ax b R x ax b

Q x R x R x Q x R x R x R x ax b

1,5

Vế phải ( ) 2 là đa thức bậc ( ) 2deg R x , vế trái ( ) 2 là đa thức bậc ( ) ( ) deg deg + Q x R x ,

do đó ( ) ( ) ( ) 2deg deg deg = + ⇒ = R x n R x n R x , mâu thuẫn. Điều phải chứng minh.

1,0

Câu 2. (4,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 3. + + = a b c Chứng

minh rằng 1. 2 2 2 + + ≤ + + + a b c b c a

(Nguồn: THPT Chuyên Thái Bình)

Điểm

Biến đổi BĐT cần chứng minh trở thành 1,5

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC - LỚP 10

HƯỚNG DẪN CHẤM