Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2022 - 2023 trường THPT Thị xã Quảng Trị

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ

QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 10 THPT

Khóa ngày 11 tháng 4 năm 2023

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (6,0 điểm):

a. Tìm tập xác định của hàm số

2 11 10

9 8 y x

x x   

 

b. Cho parabol 

2 : 2 6 1 P y x x   . Tìm giá trị của k để đường thẳng

  : 6 1 y k x     cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt , M N sao cho trung điểm của

đoạn thẳng MN nằm trên trụcOy . Câu 2 (4,0 điểm):

a. Giải phương trình

2 2 2 2 3 3 1 0 x x x x     .

b. Cho tam thức bậc hai 

2 2023 f x x bx c   , chứng minh rằng nếu  0 f x  với

mọi x thì   8092 2 8092 c b c      .

Câu 3 (4,0 điểm): Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12gam hương liệu, 9 lít nước và 315gam đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít nước A cần 45gam đường, 1 lít nước và 0,5gam hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15gam đường, 1 lít nước và 2gam hương liệu. Mỗi lít nước A nhận 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là lớn nhất?

Câu 4 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại ( 1;3) A  . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho 3 AB AD  và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . Điểm 1 3 ; 2 2 M       

là trung điểm HC . Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng

có phương trình 7 0 x y    .

Câu 5 (2,0 điểm): Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15. Lấy các điểm , , M N P lần lượt

trên các cạnh , , BC CA AB sao cho 5, 10, 4 BM CN AP    . Chứng minh rằng AM PN  .

Câu 6 (2,0 điểm): Một sa mạc có dạng hình chữ nhật ABCD có 25 DC km  , 20 CB km  và , P Q lần lượt là trung điểm của , AD BC . Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X thuộc đoạn PQ rồi lại đi thẳng từX đến C . Vận

tốc của ngựa khi đi trên phần ABQP là 15 / km h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần PQCD

là 30 / km h. Tìm vị trí của X để thời gian ngựa di chuyển từ A đến C là ít nhất?

---------HẾT--------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề có 01 trang

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 10 NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN TOÁN 10 Câu Nội dung Điểm 1a) Tìm tập xác định của hàm số

2 11 10

9 8 y x

x x   

 

3.0

Ta có hàm số xác định khi

2 9 8 0 1 0 9 x x      2.0 Vậy   1;9 D  1.0 1b) Cho parabol 

2 : 2 6 1 P y x x   . Tìm giá trị của k để đường thẳng

  : 6 1 y k x     cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt , M N sao cho

trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên trụcOy .

3.0

Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 2 6 1 2 6 1 2 2 0(*) x k x x x kx       

 cắt  P tại hai điểm phân biệt , M N khi (*) có hai nghiệm phân biệt

2 16 0; k k    

1.0

Gọi I là trung điểm MN ta có    2 1 1 2 6 2 ; 2 2 k x x x x I          

( 1 2 ; x x là 2 nghiệm của (*) và 1 2 2 k x x   )

1 2 0 0 2 x x I Oy k      

0 k   (thỏa mãn)

0,5

0,5

0,5

0,5 2 a) Giải phương trình

2 2 2 2 3 3 1 0 x x x x     . 2.0

Vì

2 2 1 3 3 1 , 2 4 4 x x x x             nên phương trình luôn xác định với

mọi x .

Ta có:

2 2 2 2 2 2 3 3 1 0 2 2 2 2 3 3 1 0 x x x x x x x x         

   2 2 2 1 3 1 5 0 * x x x x        .

Đặt 2 1 t x x    với 3 2 t  . Lúc đó phương trình  * trở thành:

 

2

1 2 3 5 0 5 TM 2

t t t

t K

       

.

Với 1 t  suy ra 2 2 1 1 1 0 0 x x x x x x

       

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là   1 ; 0 S  .

0.5

0.5

0.5

0.5

2 b) Cho tam thức bậc hai 

2 2023 f x x bx c   , chứng minh rằng nếu 2.0