Đề học sinh giỏi Toán 10 chuyên năm 2022 - 2023 sở GDĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình ( )( ) ( ) 2 2 2 1 5 3 , . 2 7 2 0

x x y y y x y y x x y

 + − + = +  ∈  − + + − =  

Bài 2 (4,0 điểm).

a. Tìm tất cả các giá trị có thể có của biểu thức 4 4 4 P x y z = + + , trong đó , , x y z là các số thực thỏa mãn 2 2 2 2. x yz y zx z xy − = − = − =

b. Cho Ω là tập hợp các bộ bốn số thực ( ) , , , a b c d thỏa mãn

( ) 2 2 2 2 2 . a b c d a b c d + + + = + + +

Tìm tất cả các số thực x sao cho ( )( )( )( ) 0 x a x b x c x d − − − − ≥ với mọi bộ ( ) , , , a b c d thuộc . Ω

Bài 3 (4,0 điểm). Cho bộ ba số ( ) , , , x y p trong đó ,x y là các số nguyên dương và p là số

nguyên tố. Xét phương trình: 5 4 1 . y x x p + + =

a. Với 2, p = chứng minh rằng không tồn tại ,x y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên.

b. Tìm tất cả các bộ ba số ( ) , , x y p thỏa mãn phương trình trên.

Bài 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( ) AB AC ≤ nội tiếp đường tròn ( ) O và ngoại tiếp

đường tròn ( ) I . Đường tròn nội tiếp ( ) I của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại , , . D E F Đường thẳng qua D vuông góc với EF cắt EF tại điểm X và cắt đường tròn ( ) I tại ( ). K K D ≠

a. Chứng minh rằng . XE AC BC AB XF AB BC AC + − = + −

b. Đường thẳng AK cắt ( ) O tại điểm ( ) L L A ≠ . Các tia , KI IL cắt đường tròn ngoại

tiếp tam giác BIC lần lượt tại ( ) , , N M N I M I ≠ ≠ . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác

, KFB KEC cắt đường thẳng EF lần lượt tại ( ) , , . P Q P F Q E ≠ ≠ Chứng minh rằng các điểm

, , N C P thẳng hàng.

c. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn.

Bài 5 (2,0 điểm). Cho tập hợp { } 1;2;3;...;2022 . S = Một tập con A của S được gọi là tập con “Tốt” của tập S nếu trong A có ba số phân biệt , , x y z thỏa mãn tính chất: tồn tại ba số , , a b c phân biệt trong S sao cho , , . x b c y c a z a b = + = + = + Số tự nhiên ( ) 1 2022 n n ≤ ≤ được gọi là số “Đẹp” của tập S nếu mọi tập con có n phần tử của tập S đều là tập con “Tốt” của tập

. S

a. Chứng minh rằng 1012 n = không phải là số “Đẹp” của tập . S b. Tìm số “Đẹp” nhỏ nhất của tập . S ---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………….…............. Số báo danh:…………….

ĐỀ CHÍNH THỨC