Đề học sinh giỏi Toán 10 cấp tỉnh năm 2022 - 2023 sở GDĐT Hà Nam

1

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2022 – 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 08 trang) I. HƯỚNG DẪN CHUNG

o Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. o Đối với bài toán hình học nếu học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ thì yêu cầu phải vẽ hình, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. o Điểm toàn bài không làm tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

CÂU SƠ LƯỢC LỜI GIẢI ĐIỂM

Câu I. (5,0 điểm)

1. Cho hàm số 2 3 4 y x x = − + có đồ thị là ( ) P và đường thẳng d có phương trình: 2 y x m = − , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị thực của m để d cắt

( ) P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 2 2 57 OA OB + = , (với O là gốc tọa độ).

3,0

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và ( ) P là nghiệm của phương trình:

2 3 4 2 x x x m − + = − 0,25 ( ) 2 5 4 0 1 x x m ⇔ − + + = 0,25 25 4.1.( 4) 9 4 m m ∆= − + = − 0,25 Đường thẳng d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B khi và chỉ khi phương trình (1) có

hai nghiệm phân biệt 9 0 9 4 0 (*) 4 m m ⇔∆> ⇔ − > ⇔ <

0,25 Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm của d và ( ) P là 1 1 2 2 ( ;2 ), ( ;2 ) A x x m B x x m − − ,

trong đó 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình(1) . 0,25 Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 5, 4 x x x x m + = = + . (Học sinh có thể không có bước này, các bước sau đúng vẫn được điểm tối đa)

0,25

Ta có: 2 2 57 OA OB + = ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 57 x x m x x m + − + + − = 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 5 4 2 57 x x m x x m ⇔ + − + + =

( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 5 10 4 2 57 x x x x m x x m ⇔ + − − + + = 0,25

2 2 5.5 10( 4) 4 .5 2 57 m m m ⇔ − + − + = 0,25

2 2 30 28 0 m m ⇔ − + = 0,25

1 14 m m =  ⇔ = 

.

0,25 Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy 14 m = bị loại, 1 m = thỏa mãn yêu cầu đề bài. 0,25 2. Cho hàm số 3 3 3 ( ) x x x x f x − − + − − = . Tìm tất cả các giá trị của tham số a để tập nghiệm của bất phương trình ( ) ( ) 2 1 2 f x f a − > − có ít nhất 3 số nguyên.

2,0

Tập xác định: [ ] 3;3 D = − 0,25

2

Ta thấy: [ ] 1 2 1 2 1 2 ; 3;3 , ( ) ( ) x x x x f x f x ∀ ∈− < ⇒ >

Thật vậy:

( ) 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 3 3 3 3 ( ) ( ) f x f x x x x x x x x x − = − − − − + − + − − − −

2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 ( ) 1 3 3 3 3 x x x x x x x x x x

  = − + + + + +     − + − + + +  

Do đó [ ] 1 2 1 2 ( ) ( ) 0, 3;3 , f x f x x x x − > ∀∈− <

Suy ra hàm số ( ) f x nghịch biến trên [ ] 3;3 − 0,5 Do đó:

3 2 3

3 2 1 3

2 1 2 (2 1) ( 2 )

a

x

x a f x f a

−≤− ≤  −≤ −≤   −< − 

− > − ⇔

0,5 3 3 2 2 1 2 1 2 2

a

x a x

−  ≤ ≤   ⇔−≤ ≤   − < 

0,25 Bất phương trình có ít nhất 3 nghiệm nguyên khi

3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 . 1 2 1 2 2 1 2 2

a a a a a

− −   ≤ ≤ ≤ ≤   − −   ⇔ ⇔ ≤ <   − −   > <    

0,5 Câu II. ( 4,0 điểm)

1. Giải phương trình: ( ) 2 2 3 2 1 7 6 5 3 4 x x x x x x x − − − + − = − + − − 2,0

Điều kiện: 2 7 6 0 1 6 x x x − + − ≥ ⇔≤ ≤ . 0,25 Với điều kiện đó

Phương trình 2 2 2 ( 1) 7 6 ( 1)(4 ) x x x x x x x − − − + − = − − − 0,25 ( ) 2 2 ( 1) 7 6 4 0 x x x x x ⇔ − − − + − + − = 0,25

2

2 7 6 4 0 (1)

1 0 (2)

x x x

x x

− + − + − = ⇔ − −= 

0,25

2 2 4 0 (1) 7 6 16 8

x

x x x x

− ≥  ⇔− + − = − + 

2

4 4 0 2 2 2 15 22 0 11 2

x x x x x x x

≤   − ≥   =  ⇔ ⇔ ⇔ =   − + =  =  

0,5

2 1 5 2 (2) 1 0 1 5 2

x x x

x

 − =   ⇔ − −= ⇔  + = 

0,25

Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm của phương trình là: 1 5 2; 2 S   +   =      

0,25 2. Tìm điều kiện của tham số m để mọi 2;1 x     ∈− đều là nghiệm của bất

phương trình 2 2 ( 2) 2 1 0. x m x m m + − − − + ≤

2,0

Đặt 2 2 ( ) ( 2) 2 1 f x x m x m m = + − − − +