Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2022 - 2023 trường THPT Phùng Khắc Khoan - Hà Nội

Đề thi môn Toán Lớp 10 Trang 1/ 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN

- THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

CÁC MÔN VĂN HÓA KHỐI 10, 11

NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 01 trang) Số báo danh: ..................... Họ và tên .............................................................................. Câu 1 (5,0 điểm): a)Tìm phương trình parabol  P : 2 y ax bx c    , biết rằng  P đi qua ba điểm , , A B C như hình vẽ.

b) Giải phương trình 2 3 4 4 3 2 x x x     trên tập số thực. Câu 2 (2,5 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để bất phương trình

    2 1 2 1 3 8 0 m x m x m       đúng với mọi x. Câu 3 (5,0 điểm): a) Cho tam giác ABC lấy các điểm I, J thỏa mãn 2 IA IB   

và 3 2 0 JA JC     

. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm   1;2 M  và hai đường thẳng

1 : 2 1 0 d x y   , 2 : 2 2 0 d x y    . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt 1 d tại A, cắt 2 d tại B sao cho 2 MA MB  . Câu 4 (2,5 điểm): Trong mọi tam giác ABC, gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC,

AB và S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng:

2 2 2 cot cot cot 4 a b c A B C S      .

Câu 5 (2,0 điểm): Cho phương trình 2 2 4 4 5 4 2 1 x x x x m      . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt. Câu 6 (3,0 điểm): Cho , , x y z là số thực. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 0 x y z x y z xyz y z yz        .

------------- HẾT ------------- (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN - THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC

MÔN VĂN HÓA KHỐI 10, 11

NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 01 trang) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN:

Câu Nội dung trình bày Điểm

1.a

(2,5 điểm) a)Tìm phương trình parabol  P : 2 y ax bx c    , biết rằng  P đi qua ba điểm , , A B C như hình vẽ.

2,5

Dựa vào đồ thị ta có  P đi qua ba điểm   1; 1 A  ,   2;3 B ,   1; 3 C   .

0,5

Ta có:

   

2

2

2

.1 .1 1

.2 .2 3

. 1 1 3

a b c

a b c

a b c

               

1 1

3

a b c

       

 2 : 3 P y x x    

1,75

Vậy  P có phương trình là 2 3 y x x   .

0,25

1.b (2,5 điểm) Giải phương trình 2 3 4 4 3 2 x x x     trên tập số thực.

2,5

Ta có:

 

2

2 2 3 2 0 3 4 4 3 2

3 4 4 3 2

x x x x

x x x

            

. 1,0

ĐÁP ÁN CHẤM

2

2 3 6 16 0

x

x x

  

   

2 3

0 0

8 3

x

x x

x

        

 

    

.

1,25

Vậy tập nghiệm của phương trình là  0 S  .

0,25

2

(2,5 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để bất phương trình

    2 1 2 1 3 8 0 m x m x m       đúng với mọi x.

2,5

Nếu 1 m  thì  11 4 11 0 4 f x x x      không thỏa mãn.

0,5

Nếu 1 m  thì 

0 0, 0 f x x a

       

2 2 3 9 0 1 0 m m m

       

. 1,0

  3 ; 3; 2 1

m

m

               

3 2 m   .

0,75

Vậy  3 0, ; 2 f x x m            .

0,25

3.a

(3,0 điểm): Cho tam giác ABC lấy các điểm I, J thỏa mãn 2 IA IB   

và 3 2 0 JA JC     

. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

3,0

Ta có :    

2 0 2

3 2 0 3 2 0

IA IB IA IB

IA IJ IC IJ JA JC

                   

    

        .

1,0

  2 0 2 5 3 2 5

IA IB IA IB IC IJ IA IC IJ

            

         …