Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2022 - 2023 trường THPT Bình Chiểu - TP HCM

TRƯỜNG THPT BÌNH CHIỂU

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

(Đềthi có 01 trang)

KỲTHI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HÓC: 2022 - 2023

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian phát đề

Câu 1 (5 điểm). Cho A = {n ∈N|2 < n2 < 38}; B = {x|x = 3k, k ∈Z, −4 < x < 16};

C = {n2 + 1|n ∈N, n < 5}.

a) Tìm các tập hợp A ∪B; A ∩C; A \ B.

b) Tìm các tập hợp (A \ B) ∩C; (A \ B) ∪(A \ C).

Lời giải.

Ta có: A = {2; 3; 4; 5; 6} ; B = {−3; 0; 3; 6; 9; 12; 15} ; C = {1; 2; 5; 10; 17} .

a) A ∩C = {2; 5}

A ∪B = {−3; 0; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 12; 15},

A \ B = {2; 4; 5}.

b) A \ B = {2; 4; 5}

(A \ B) ∩C = {2; 5}

(A \ B) ∪(A \ C) = {2; 3; 4; 5; 6}.

□

Câu 2 (4 điểm). Cho tâp hợp D = {x ∈R |2 ≤x ≤7}, E = {x ∈R |x < 4}.

Tính D ∩E, D ∪E, CRD, CRE

Lời giải.

Ta có: D = [2; 7] ; E = (−∞; 4)

Khi đó ta có: D ∩E = [2; 4) ; D ∪E = (−∞; 7] ; CRD = (−∞; 2) ∪(7; +∞) , CRE = [4; +∞)

□

Câu 3 (2 điểm). Trong một câu lạc bộcó 100 học sinh, gồm 90 học sinh chơi cầu lông, 80 học

sinh chơi bóng bàn và 70 học sinh chơi đá bóng. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh chơi cảba môn

thểthao?

Lời giải.

Theo đê bài, ta có:

• 10 học sinh không chơi cầu lông, gọi là nhóm 1.

• 20 học sinh không chơi bóng bàn, gọi là nhóm 2.

• 30 học sinh không chơi đá bóng, gọi là nhóm 3.

Trang 1

Một học sinh X trong lớp giỏi cảba môn sẽkhông thuộc vào bất cứnhóm nào trong các nhóm

trên (vì các nhóm trên gồm học sinh KHÔNG giỏi một môn nào đó trong ba môn). Vì thế, đểcó

càng ít học sinh X càng tốt (do cần tìm sốhọc sinh giỏi ba môn ít nhất có thể) thì tổng sốhọc

sinh trong các nhóm 1, 2, 3 phải càng nhiều càng tốt. Khi đó, ta xét các nhóm 1, 2, 3 rời nhau hết

thì tổng sốhọc sinh trong đó là 10 + 20 + 30 = 60.

Suy ra có ít nhất 100 −60 = 40 học sinh giỏi cảba môn. □

Câu 4 (3 điểm). Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vịprotein và 400 đơn vịlipit trong thức ăn

mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vịprotein và 200 đơn vịlipit. Mỗi kg thịt heo chứa 600

đơn vịprotein và 400 đơn vịlipit. Biết rằng mỗi ngày gia đình này chỉmua tối đa 1,5 kg thịt bò

và 1 kg thịt heo. Giá tiền 1 kg thịt bò là 200 nghìn đồng, 1 kg thịt heo là 100 nghìn đồng. Hỏi gia

đình này cần mua bao nhiêu kg thịt bò và bao nhiêu kg thịt heo đểsốtiền bỏra là ít nhất nhưng

vẫn đáp ứng đủprotein và lipit trong thức ăn hàng ngày.

Lời giải.

Gọi x là sốkg thịt bò , y là sốkg thịt heo mà gia đình mua.

Theo bài ra ta có hệbất phương trình sau:

      

     

0 ≤x ≤1, 5

0 ≤y ≤1

800x + 600y ≥900

200x + 400y ≥400

Miền nghiệm của hệbất phương trình là miền đa giác ABCD không gạch, kểcảbờ.

Gọi F là sốtiền gia đình cần phải trả, khi đó:

F = 200x + 100y

Ta có tọa độcác đỉnh của đa giác là A(3

8; 1), B(3

5; 7

10); C(3

2; 1

4); D(3

2; 1)

Thay tọa độcác đỉnh vào F ta có:

F(3

8; 1) = 175, F(3

5; 7

10) = 190; F(3

2; 1

4) = 325; F(3

2; 1) = 400

Vậy gia đình này cần mua 3

8kg thịt bò và 1 kg thịt heo đểđáp ứng đủprotein và lipit với sô tiền

ít nhất. □

Câu 5 (4 điểm). Cho phương trình: (m −1)x2 + x −m = 0 (1)

a) Chứng minh với mọi m thì phương trình luôn có nghiệm.

b) Tìm m đểphương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x1 = 2x2

Lời giải.

Trang 2