Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2021 - 2022 cụm trường THPT - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10

NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (4,0 điểm) Cho Parabol    2 ( ) : 2 3 P y x x . 1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P . 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng   4 7 y x đạt giá trị nhỏ nhất. Bài II (6,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

       

2 2 1. 3 x y xy x y xy

2) Giải phương trình sau:

a)     2 2 3 5 1 x x x ;

b)        2 3 2 6 2 1 3 2. x x x x

Bài III (4,0 điểm) Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn   3 a b c .

1) Chứng minh   

3 3

2 2 a b a b b a

.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   

3 3 3

2 2 2 a b c P b c a

.

Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác, M là

một điểm thỏa mãn    2 3 0. MA MB MC

1) Chứng minh:  6GM AC .

2) Gọi , , D E F là hình chiếu của M lên các cạnh , , . BC CA AB Tính   MD ME MF

theo .a

Bài V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đường cao , , . AD BE CF Biết điểm (5, 4), E điểm (1,2) F và phương trình đường thẳng BC là 1 y .

1) Viết phương trình đường thẳng EF và tìm tọa độ trung điểm của . BC

2) Tính diện tích tam giác . DEF

- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh:............................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

HƯỚNG DẪN CHẤM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10

NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN

Bài Câu Nội dung điểm 1 (4,0đ)

1 TXĐ: 0,25

Đỉnh   1; 4 I  0,25 Bảng biến thiên:

x  -1 

y

 

0,5

Đồ thị: (P) Giao với trục    : 3;0 ; 1;0 Ox 

(P) Giao với trục   : 0; 3 Oy  Vẽ đồ thị hàm số (Chú ý: học sinh biểu diễn tọa độ các điểm trên hình vẽ vẫn được điểm tối đa)

0,25

0,25

0,5

2

Gọi   , M x y P  suy ra 2 2 3 y x x    0,25

Khi đó  

2 2 4 4 7 ,

17 17

x x y x d M d

      0,5

Ta có:  

2 2 2 4 1 3 3 x x x      

Suy ra   3 17 , 17 d M d  .

0,5

Suy ra giá trị nhỏ nhất của   3 17 , . 17 d M d 

Dấu bằng xảy ra khi 1, 0. x y  

0,5

Vậy   1,0 M . 0,25 2 (6,0đ)

1                       

2 2 2 1 ( ) 3 1 3 3 x y xy x y xy x y xy x y xy 0,25

Đặt x y S xy P      

0,25

-4

Hệ phương trình trở thành

                           

2 2 2, 1 3 1 3 10 0

5, 8 3 3

S P S P S S

S P S P P S 0,5

Với   5, 8 S P suy ra ,x y là nghiệm của phương trình    2 5 8 0 X X ( vô nghiệm)

0,5

Với   2, 1 S P suy ra ,x y là nghiệm của phương trình

     2 2 1 0 1 X X X suy ra  1 x y

Vậy hệ có nghiệm là      , 1;1 x y

0,5

2a

    2 2 3 5 1 x x x

 

                    

2 2 2

1 1

6 0 2 3 5 1

x x

x x x x x

1,0

        

1

2( ) 3( )

x

x l x tm

. Vậy phương trình có nghiệm là: 3 x

1,0

2b

Điều kiện 2. x Đặt 1

2

x a

x b

   

  

0,5

Phương trình trở thành

          

3 6 2 3 ( 3)( 2) 0 2 a ab a b a b b 0,5

Với 3 10( ) a x tm    Với 2 6( ) b x tm   

Vậy tập nghiệm của phương trình là {6;10}. S 

1,0

3 (4,0đ)

1 Biến đổi :

               

3 3

5 5 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 0 a b a b a b a b a b a a b b a b b a

1,0

                 2 2 2 3 3 2 2 0 0 a b a b a b a b a ab b 1,0 2

Áp dụng bđt Cauchy ta có:   

3

2 3 a b b a b

  

3

2 3 b c c b c

;   

3

2 3 c a a c a

1,0

Suy ra

              

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2( ) 3( ) 3 a b c a b c a b c a b c a b c b c a b c a

Dấu bằng xảy ra khi a =b= c =1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi a =b = c =1.

1,0