Đề thi HSG Toán 10 năm 2020 - 2021 trường THPT Đan Phượng - Hà Nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG

TOANMATH.com

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN - LỚP 10

NĂM HỌC 2020 – 2021

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . .

Câu I. (5,0 điểm)

Cho hàm số   2 2 2 1 6 y x m x m      có đồ thị là  P .

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số đã cho khi 1 m .

2. Tìm giá trị m sao cho đồ thị  P cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1x và 2x thỏa

mãn điều kiện:   2 2 1 2 1 2 7 4 x x x x     .

Câu II. (6,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2 2 11 23 4 1 x x x    .

2. Giải bất phương trình: 2 2 4 3 2 3 3 1 x x x x x       .

3. Giải hệ phương trình:  

2

1 1 2 3 3

2 9 4 3 19 3

x y

x y y x

x y x y

                        

.

Câu III. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 8 a b b c c a       . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2 2 2 P a b c    .

Câu IV. (7,0 điểm)

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua   4;5 B  và tạo với đường thẳng :7 8 0 x y     một góc 45°.

2. Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABO và CDO. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng HK MN  .

3. Cho ABC  có AB c  ; BC a  ; AC b  .

a) Chứng minh rằng: Nếu   cos 3cos 1 A C B    thì 60 B  .

b) Chứng minh rằng: Nếu

2 2 1 cos 2 sin 4

B a c B a c

  



thì ABC  cân.

____________________ HẾT ____________________