Đề thi HSG Toán 10 lần 2 năm 2020 - 2021 trường THPT Đồng Đậu - Vĩnh Phúc

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2

NĂM HỌC: 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN - Lớp 10 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu

Câu 1. Tìm tập xác địnhcủa hàm số 10 1 y 5 2 x x    

Câu 2. Cho phương trình      2 2 2 1 1 1 0 1 x ax a x ax       với a là tham số.

a. Giải phương trình với 2 a 

b. Khi phương trình  1 có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng 2 a  .

Câu 3. Cho hàm số 

2 y f x ax bx c     có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

  2 2 3 0 f x m f x m      có 6 nghiệm phân biệt

Câu 4. Giải phương trình

2 3 3 2 6 1 7 10 4 3 5 2 0 x x x x x        

Câu 5. Giải bất phương trình 2 2 2 5 1. x x x      

Câu 6. Giải hệ phương trình:

2 2 3

2 2 5 4 3 2( ) 0

2

x y xy y x y

x y

         

Câu 7. Cho hình chữ nhật ABCD có 2 AB AD  , BC a  . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ

2 3 u MA MB MC       

, trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC .

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác ABC . Tính độ dài cạnh AB biết cạnh

AC a  , và góc giữa hai véc tơ GB



và

 GC là nhỏ nhất.

Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A , nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ADC . Chứng minh rằng OE CD  .

Câu 10. Với   0;1 x , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 (1 1 ) 5 1 x x P x x     



.

---------------------Hết------------------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Số báo danh

………………………

x

y

-1

2 3

3

O 1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

Có 06 trang

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 2 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 10

Câu Nội dung Điểm

1

Tìm tập xác địnhcủa hàm số 10 1 y 5 2 x x    

2,0

Hàm số xác định khi và chỉ khi 10 1 0 5 2 x x    

Hoặc

10 1 0 5 2 5 0

x x x

         

0,5

   5 5 0 20 2 5 3(5 ) 0 0 2(5 ) 2(5 ) 5 0

x x x x x x x x

                  

. 0,5

5 5 x   0,5

Vậy tập xác định của hàm số là ( 5;5] D  . 0,5

2

Cho phương trình      2 2 2 1 1 1 0 1 x ax a x ax       với a là tham số.

a, Giải phương trình với 2 a 

b, Khi phương trình  1 có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng 2 a  .

2,0

a, với 2 a  phương trình  1 thành

   

   

2 2 2

4 2 2 1 2 2 1 1 0

1 2 1 1 0

x x x x

x x

     

    

0,5

 

2 1 1

0

2

x

x

x

  

   

0,5

b, Xét phương trình      2 2 2 1 1 1 0 1 x ax a x ax      

Đặt 2 1, t x ax    khi đó  2 1 0 2 x ax t   và phương trình đã cho trở thành:

 2 1 0 3 t at   .

Phương trình  1 có nghiệm khi a và t thỏa mãn: 2 4 0 a   và 2 4 4 0 a t    .

2 4 0 2 a a     hay 2 a  .

0,5

Nếu 2 a  thì  3 có nghiệm 0, t  khi đó 2 4 4 0, a t    suy ra  2 có hai nghiệm

phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết  1 có nghiệm duy nhất.

Nếu 2 a  thì phương trình  3 có nghiệm 1, t  khi đó điều kiện 2 4 4 0 a t    không

được thỏa mãn.

Vậy 2 a  .

0,5

3

2,0

Ta có:

    

 

2 1 2 3 0

3

f x f x m f x m

f x m

        

   

. 0,5

Từ đồ thị hàm số  y f x  ta suy ra đồ thị hàm số   y f x  như sau:

0,5

+ Phương trình   1 f x  có hai nghiệm phân biệt 0,25

Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình  3 f x m   phải có

4 nghiệm phân biệt

0,25

1 3 3 0 4 m m       . 0,25

Kết hợp m là số nguyên nên   1;2;3 m . 0,25

4

Giải phương trình: 2 3 3 2 6 1 7 10 4 3 5 2 0 x x x x x         2,0

ĐKXĐ: 1 x 

Ta có: 2 3 3 2 6 1 7 10 4 3 5 2 0 x x x x x        

    

   

2

3 3 2 2 1 3 2 2. 3 2.2 1 4 1 4 0

3 2 2 1 3 3 2 2 1 4 0

x x x x x x

x x x x

           

         

0,5

3 2 2 1 1

3 2 2 1 4 ( )

x x

x x VN

    

   

0,5

x

y

3

-1

O 1