Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 10 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

TOANMATH.com

Đề thi có 01 trang - gồm 05 câu

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 & 11 THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN LỚP 10

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (5,0 điểm)

a. Giải bất phương trình 2 2 2 3 2 x x x x x     .

b. Giải hệ phương trình     2 2 2 2

2

( ) 3 3 2

( 2) 2 1 ( 5) 3 2 2 5 6

x y x xy y x y

y x y x x y x x

        

         

.

Câu 2. (5,0 điểm)

a. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình

2

2

2 2 3 2 3 2 3 mx mx m x x        nghiệm

đúng với mọi x?

b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

1

( ) (2 3)

x y xy

y m x m y m

        

  ,x y.

Câu 3. (5,0 điểm)

a. Cho tam giác ABC có góc  30o A  , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 3 r  và độ dài đường cao kẻ

từ đỉnh A là h thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 h AB AC   . Tính giá trị 2 2 sin cos T B C   và bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC.

b. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho   2;3 A ,   1;5 B  và đường thẳng : 2 1 0 d x y   . Tìm tọa độ điểm C

thuộc đường thẳng d và tọa độ điểm D thuộc đoạn thẳng AC, biết rằng tam giác ABC cân tại B và 5 5 DC  .

Câu 4. (3,0 điểm)

a. Một cửa hàng chuyên kinh doanh xe máy điện với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe này, chủ cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính rằng, theo tỉ lệ nếu cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?

b. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương   ; ; x y p với p là số nguyên tố thỏa mãn   2 2 2 6 2 x p y x p    .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   2 2 2

2 4 (2 )

( )

z z xy x y z x y P x y z

       .

_______________ HẾT _______________

https://toanmath.com/

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm./.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI GIẢI TOÁN 10

Đk :

2

2

x 3 x 2x 0 x 0 x 3x 0 x 2

              

*   khi x 3 hay x 0 bpt đúng

Suy ra x 3 hay x 0   là nghiệm của bpt



          2 *khi x 2

bpt x 2 x 3 2 x 2x 1 2 x x 6 4x

         2 25 2 x x 6 2x-1 8x 25 x thỏa đk x 2 8

Vậy tập nghiệm của bpt 25 S ( ; 3] {0} [ ; ) 8    

(1)   3 3 2 2 3 3 3 3 3 2 ( 1) ( 1) x y x y x y x y           

1 1 2 x y y x     

Thế vào phương trình (2) ta được

2 1 ( 5) 6 5 6 x x x x x x      

ĐK : 2 x .

BPT    

2 1 2 ( 5) 6 3 9 x x x x x        

3 3 ( 5) ( 3)( 3) 1 2 6 3 x x x x x x x x           

5 ( 3) ( 3) 0 1 2 6 3 x x x x x x

               

Ta thấy 5 ( 3) 1 2 6 3 x x x x x

      

( 1) 1 ( 5)( 6 1) 1 0, 2 1 2 6 3 1 2 x x x x x x x x              

1 1 5 5 1 2 2 1 2 6 3 1 2 x x x x x x x             