Đề chọn đội tuyển Olympic 2021 Toán 10 lần 1 trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NGUYỄN BỈNH KHIÊM

TỔ TOÁN - TIN

ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN OLYMPIC NĂM 2021

MÔN TOÁN – KHỐI 10 – LẦN 1

Ngày thi: 19/09/2020

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (2,0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 8 x y   và 2 16 z xy   . Tính: P x z  .

Bài 2. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, có góc lớn nhất bằng . Biết rằng a và b là hai nghiệm của

phương trình 2 4( 2) ( 4) x c c x     . Tính .

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho 0 1 1 9 2 3 , , , , , a a a a a  là các số nguyên dương sao cho:         2 2 2 2 2 1 2 3 9 10 2 3 9 10 385 a a a a a      .

Tính 1 2 3 9 10 S a a a a a      .

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho a, b, c là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: ( )( )( ) a b b c c a    chia hết cho 48.

Bài 5. (3,0 điểm)

a) Cho ( 2) n n    và   * 1 2 , 1,2, , n i A a a a a i n       . Giả sử a là ước số của A và i a a  với mọi

1,2, , i n   . Chứng minh rằng a là một hợp số.

b) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện ac bd  . Chứng minh rằng a b c d    là một hợp số.

Bài 6. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho

AE AF  . Đường trung tuyến AM và đường thẳng EF cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng: QE AC QF AB  .

Bài 7. (3,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:  

2 2 2 2 1 | | | | | | 12 a b c ab bc ca a b b c c a            .

Bài 8. (2,0 điểm)

Trên bảng cho 2020 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2020. Ta thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau: mỗi lần biến

đổi ta xóa đi hai số bất kì a, b có trên bảng rồi viết thêm số 1 3 a b ab   vào bảng. Khi trên bảng chỉ còn lại

đúng một số thì dừng lại. Tìm số còn lại đó.

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/

+ Học sinh không được phép sử dụng máy tính cầm tay.

+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.