Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 10 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số 2 1 7 6 1 1 2 y x x x      

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 2 3 y x mx m    và hàm số 2 3 y x   . Tìm m để hai đồ

thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 4 5 AB  .

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm m để phương trình 2 2 2 1 x x m x     có nghiệm.

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tham số m để bất phương trình 2

1 1 4 3 x mx x m      có tập nghiệm là .

Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình 2 2 6 1 4 5 x x x   

Câu 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 4 10 2 2 4

2 2 7 5 2 24 3

x y x y

x xy y x y

           

Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh

BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với

PN. Tính độ dài PN theo a.

Câu 8 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 2 BC AB  ,

phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là : 2 0 d x y    . Biết  0 120 ABC  và

  3;1 A . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.

Câu 9 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC  , biết IG IC  .

Chứng minh rằng 2 3 a b c ab a b    (Với , , AB c BC a CA b    ).

Câu 10 (2,0 điểm). Cho các số thực , , 0 a b c  thỏa mãn 3 2 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất

của 2 2 2 2 2 2 1 1 1 S a b c b c a       .

------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh…………………

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2018-2019

Câu Nội dung trình bày Điểm

1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số 2 1 7 6 1 1 2 y x x x      

Hàm số có xác định khi và chỉ khi

2 7 6 0

1 1 2 0

x x

x

     

0,5

2 1 7 6 0 6 1 1 2 0 1 1 2 1

x x x x x x

                        

0,5

1

0 1 6

0 1

x

x x

x

         

0,5

Vậy tập xác định của hàm số là:   0;1 D  0,5

2 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 2 3 y x mx m    và hàm số 2 3 y x   . Tìm m để hai

đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 4 5 AB  .

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 2 2 3 2 3 x mx m x       2 2 1 3 3 0 x m x m      (*) 0,5

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

' 0   1.4 m m

     

Gọi     1 1 2 2 ; 2 3 ; ; 2 3 A x x B x x     với 1 2 ; x x là nghiệm phương trình (*)

0,5

Theo Vi-et ta có:    

1 2

1 2

2 1

. 3 1

x x m

x x m

      

Ta có:         2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 5 20 . 20 1 60 1 AB x x x x x x m m         

0,5

        2 2 4 5 20 1 60 1 4 5 1 2 1 4 0 AB m m m m            

0; 5. m m    So sánh với điều kiện ta được m=0 và m=-5

0,5

3 (2,0 điểm). Tìm m để phương trình 2 2 2 1 x x m x     có nghiệm.

Ta có 2

2

1 2 2 1

4 1 0(*)

x x x m x

x x m

         

0,5

(Đáp án có 05 trang)