Đề Olympic Toán 10 năm 2019 cụm THPT Thanh Xuân Cầu Giấy Thường Tín - Hà Nội

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-

CẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN

ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN 10

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. Cho hàm số 2 2 2 y x x     1 .

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số  1 .

b) Tìm m để phương trình 2 2 2 0 x x m      có hai nghiệm 1x và 2x thỏa mãn:

1 2 1 3 x x   .

Câu 2. a) Giải bất phương trình sau:   2 2 4 2 5 3 0 x x x x    

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2 2 5 2 0

4 0

x xy y x y

x y x y

             

.

c) Tìm m để bất phương trình:

2

2 4 2 3 2 3 x x m x x       nghiệm đúng x  ?

Câu 3. Cho tam giác ABC ; đặt , , a BC b AC c AB    . Gọi M là điểm tùy ý.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P MA MB MC    theo , , a b c .

b) Giả sử   6 cm, 2 cm, 1 3 cm a b c     . Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC

và diện tích tam giác ABC .

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD ;

I là trung điểm của BH . Biết đỉnh   2;1 A , phương trình đường chéo BD là: 5 19 0 x y    ,

điểm 42 41 ; 13 13 I      

.

a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH . Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD .

Câu 5. Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn:

2 2 2 1 a b c   . Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b       .

HẾT

2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hàm số 2 2 2 y x x     1 .

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số  1 .

b)Tìm m để phương trình 2 2 2 0 x x m      có hai nghiệm 1x và 2x thỏa mãn:

1 2 1 3 x x   .

Lời giải

a) Tập xác định: D  .

Tọa độ đỉnh   1;1 I .

Hệ số 1 0 a  nên hàm số đồng biến trên khoảng   1; và nghịch biến trên khoảng   ;1  .

Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:  P có trục đối xứng là đường thẳng 1 x .  P đi qua các điểm   0;2 A ;   2;2 B .

b) 2 2 2 2 0 2 2 x x m x x m          .  1

Số nghiệm của phương trình  1 chính là số giao điểm của  P với đường thẳng : d y m  ,

trong đó d là đường thẳng luôn song song hoặc trùng với Ox .

Dựa vào đồ thị  P ta thấy phương trình  1 có nghiệm thỏa mãn 1 2 1 3 x x   

5 5 m m   .

3

Câu 2. a) Giải bất phương trình sau:   2 2 4 2 5 3 0 x x x x    

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2 2 5 2 0

4 0

x xy y x y

x y x y

             

.

c) Tìm m để bất phương trình:

2

2 4 2 3 2 3 x x m x x       nghiệm đúng x  ?

Lời giải

a) Điều kiện 2 2 5 3 0 x x   

3 1 2

x

x

    

.

+ Ta thấy 3 x , 1 2 x  là nghiệm của bất phương trình đã cho.

+ Khi

3

1 2

x

x

    

thì

2 2 5 3 0 x x    , suy ra 2 2 5 3 0 x x    nên:

  2 2 4 2 5 3 0 x x x x    

2 4 0 x x    4 0 x x    

.

Suy ra trường hợp này bất phương trình có tập nghiệm   2 1 ; 4 ; 2 S         

.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là     1 ; 4 ; 3 2 S        

.

b)

2 2

2 2 2 5 2 0

4 0

x xy y x y

x y x y

             

Ta có: 2 2 2 2 2 5 2 0 2 2 2 4 2 0 x xy y x y y xy y xy x x y x                

      2 1 2 1 2 2 1 0 y y x x y x y x          

   2 2 1 0 y x y x       2 2 1 y x y x       

.

Như thế:

2 2

2 2 2 5 2 0

4 0

x xy y x y

x y x y

             

   

   

2 2

2 2

2

2 2 4 0

2 1

2 1 2 1 4 0

y x

x x x x

y x

x x x x

                           

2

2

2

2 4 2 0

2 1

5 4 0

y x

x x

y x

x x

                    

1 1

4 5 13 5

x y

x

y

                

.

Vậy hệ có nghiệm   ;x y là:   1;1 ; 4 13 ; 5 5        

.