Đề thi Olympic Toán 10 năm 2018 - 2019 trường THPT Kim Liên - Hà Nội

8 - 2019

Câu 1 ( ).

2 3 6 18 3 , (1) x x x x m , m

a) i (1) khi 3. m

b) m .

Câu 2 (5

a)

4 2 2 3

3 2 1. 1

x x y x y

x y xy x

b) ây truy là

Parabol ACB u,

cu i c c g m

A , B trên m i tr c AA và BB

v cao 30m. Chi n

A B trên n n c u b ng 200m . cao ng n nh t c a dây truy n trên c u là ' 5 CC m.

G i Q , P , , C’, I , J , K n thành các ph n b ng nhau. Các thanh

th ng n i n n c u v n: QQ , PP , HH , ' CC , II , JJ , KK g i là các

dây cáp treo. Tính t dài c a các dây cáp treo?

Câu 3 (4 Cho tam giác ABC M , , . BC a CA b AB c

a) Ch minh r 2 2 cos .cos .cos . b c A a c C b B

b) Tìm t p h p các i M sao cho 2 2 2. MB MC MA

Câu 4 Tr , Oxy cho (3;1), ( 1;2) A B .

a) N Ox AN

b) M : d y x MA P và

MB Q PQ

Câu 5 Cho , , x y z : 2 2 2 4 . x y z xyz

2 . x y z xyz

---------------------- -------------------------

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10

Năm học 2018 - 2019

Câu Đáp án Điểm Câu 1

a) Đặt 3 6 t x x = + + − Đk :3 3 2 t ≤≤ .

Phương trình có dạng: 2 1( ) 2 3 0 3 t l t t t = −  − − = ⇔ = 

Giải ra nghiệm x=-3 và x=6

1.0

1.0 1.0

6,0 b) (1) có nghiệm khi có phương trình 2 2 9 2 t t m − = − có nghiệm 3;3 2 t   ∈ 

Xét hàm số 2 ( ) 2 f t t t = − với 3;3 2 t   ∈ , sử dụng bảng biến thiên ta có ĐK

phương trình có nghiệm 3 9 2 18 6 2 m ≤ − ≤ − 9 6 2 3 2 m −+ ⇔ ≤ ≤ .

1,0

1.0

1.0

Câu 2

a) Ta có: 4 2 2 2 2 3 ( ) 2 . x x y x xy x y + = − + Đặt 2 3 xy; y. a x b x = − =

Ta có hệ phương trình:

2 1

1

a b

a b

 + = −+ = − 

. Suy ra, 2 1. 2 0 2. a a a a =  − − = ⇔= − 

Khi đó:

2

3

2 2 2

3

3

1 1 0 0

3 2 2 (v ). 3

2

x xy x y x y

x x x xy n y x x y

 − = = ±   ⇔   = =       + = −      − = −⇔   −    =     = −  

( ) ( ) { } ( ; ) 1;0 , 1;0 . x y ∈ −

Giả sử Parabol có dạng: 2 y ax bx c = + + , 0 a ≠ .

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm ( ) 100; 30 A , và có đỉnh

( ) 0;5 C . Suy ra:

30 10000 100

0 2 5

a b c

b a c

= + +  −  =   = 

( )

2 1 : 5 400 P y x ⇒ = + . Đoạn AB chia

1,0

1,0

1,0

1,0

5,0

A B

Q P

H C I J

K

B′ Q′ P′ H′ I′ J′ K′ A′ O

y

x

30m 5m

200m

2y 1y

3y

làm 8 phần, mỗi phần 25m .

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng 1 2 3 2 2 2 OC y y y + + +

2 2 2 1 1 1 5 2 .25 5 2 .50 5 2 .75 5 400 400 400       = + + + + + +             ( ) 78,75 m =

1,0

Câu 3

a)

2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) . . . ... 2 2 2

( )( ) ( ).cos . 2

a b c a c b b c a b c VP a c b ab ac bc

b c b c a b c A bc

  + − + − − − − = − = =     − + − = = −

b) Gọi D là đi xác định bởi hệ thức: DB DC DA 0. + − =    

Ta có:

( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

MB MC MA MD DB DC DA

MD DB DC DB DC ... MD 2AB.AC.cosA.

+ − = + + − =

= + + − + = = −  

Nếu A tù, tập hợp các điểm M là tập ∅ .

Nếu A vuông, tập hợp các điểm M là { }. D .

Nếu A nhọn, tập hợp các điểm M là đường tròn ( ) ; 2 . .cos D AB AC A .

1,0

1,0

1,0

1,0

4,0

Câu 4

a) N ∈Ox sao cho AN nhỏ nhất khi N là hình chiếu của A lên Ox khi N là hình

chiếu của A lên Ox.Vậy N(3;0)

b) : ( ; ) M d y x M m m ∈ = ⇒

Đường thẳng AM có phương trình ( 1) 2 0 m x my m − − − =

AM cắt trục hoành tại 2 ( ;0) 1 m P m −

Đường thẳng MB có phương trình: ( 2) ( 1) 3 0 m x m y m − − + + =

MB cắt trục tung tại 3 (0; ) 1 m Q m +

Phương trình PQ: 1 1 1( 1; 0) 2 3 m m x y m m m m − + + = ≠± ≠

PQ đi qua 0 0 ( ; ) I x y cố định 0 0 0 0 (3 2 6) 3 2 0 1;0 x y m x y m ⇔ + − − + = ∀ ≠±

0 0

0 0

3 2 6 3 (1; ) 3 2 0 2

x y I x y

+ =  ⇔ ⇔ − + = 

2.0 1,0

1,0

4,0

Câu 5

Áp dụng BDDT Cauchy cho 6 số dương: 2 2 2 , , , , , x y z x y z ta được:

2 2 2 3 3 3 6 6 6 . x y z x y z x y z xyz + + + + + ≥ = Vì

2 2 2 4 x y z xyz + + = nên ta có:

2 . x y z xyz + + ≥ Dấu bằng xảy ra 2 2 2 1 x y z x y z x y z ⇔ = = = = = ⇒ = = = .

Trái với giả thiết: 2 2 2 4 x y z xyz + + = .

Vậy 2 . x y z xyz + + >

0,5 0,5

1,0

Ghi chú: Học sinh làm theo các cách khác vẫn được chấm điểm theo từng bước có lời giải đúng.