Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2018 - 2019 trường Đan Phượng - Hà Nội

Trang 1

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG

Đề chính thức (Đề thi có 1 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN Năm học: 2018-2019 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I (6 điểm) 1) Cho parabol

2 ( ) : 2 6 1 P y x x   ; Tìm giá trị của k để đường thẳng : ( 6) 1 y k x     cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt , M N sao

cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng 3 : 2 2 d y x  

2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):

2 3 2 2( 1) ( 1) 0 x m x m m       có hai nghiệm

1 2 , x x thỏa mãn điều kiện 1 2 4 x x   . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:   3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 8 P x x x x x x      Câu II (5điểm):

1) Giải bất phương trình: 2 ( 1)( 4) 5 5 28 ( ) x x x x x R      

2) Giải hệ phương trình :

   

2 2

2 2 2 2 2 6 2 2 3 0

( ; ) ( ) 3 3 2

x y y y

x y R x y x xy y x y

                

Câu III (2 điểm). Cho 0, 0 x y   là những số thay đổi thỏa mãn 2018 2019 1 x y  . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P x y   Câu IV(4 điểm) 1) Cho tam giác ABC có , BC a AC b   diện tích bằng S .

Tính số đo các góc của tam giác này biết   2 2 1 4 S a b  

2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh , , BC CA AB lần lượt lấy

các điểm , , N M P sao cho   2 , , 0 3 3 a a BN CM AP x x a      .

Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD. Biết

diện tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh   1;1 A và trung điểm cạnh BC là 1 ;0 2 H       

.

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng :5 1 0 d x y   .

------------------Hết------------------

Trang 2

ĐÁP ÁN

Câu I:

Câu I

6 điểm

Nội dung Điểm

Tìm m... với parabol

2 2 6 1 y x x   

Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình

2 2 6 1 4 6 1 x x x x     có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x hay phương trình :

2 2 2 0 x kx    có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x có 2 16 0 k   

0.75

Khi đó giao điểm     1 1 2 2 ;( 6) 1 , ;( 6) 1 M x k x N x k x     nên trung điểm của

đoạn thẳng MN là 1 2 1 2 ( 6) 1 ( 6) 1 ; 2 2 x x x x x x I           

0.75

Theo định lý Viet ta có 1 2 2 k x x   nên

2 1 2 3 2 ; 4 2

k k k I

           

0.75

Do I thuộc đường thẳng 3 2 2 y x   nên 2 8 2 0 k k    hay 4 3 2 k  thì

thỏa mãn bài toán.

0.75

2.

3 điểm

Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số);

2 3 2 2( 1) ( 1) 0 (1) x m x m m       có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn điều kiện

1 2 4 x x   . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

  3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 8 P x x x x x x     

Phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn điều kiện 1 2 4 x x   khi

2 3 2

1 2

( 1) ( 1) 0 2( 1) 4 m m m x x m

            

3 2 0 4 0 (*) 2 3 3

m m m

m m

             

.

0.75

Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : 0.75