Đề thi HSG Toán 10 cấp trường năm 2018 - 2019 trường Yên Phong 2 - Bắc Ninh

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề gồm có : 01 trang

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học : 2018 – 2019 Môn: Toán Lớp: 10 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 26/01/2019

Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số 2 (2 3) 2 2 y x m x m      (1) 1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 3 1 y x   tại hai điểm A, B phân biệt sao cho OAB  vuông tại O ( với O là gốc toạ độ). Câu 2 (2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 1

2

x y x m

x m    



xác định trên khoảng ( - 1; 3).

Câu 3 (5 điểm). Giải các phương trình sau

2

3 2

1) 3 1 7 2

2) 3 1 4 3 5 4

3) 3 3 5 2 3 10 26 0.

x x x

x x x

x x x x x

   

    

       

Câu 4 (2 điểm). Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2

1

(2 1) 1

x x y xy xy y

x y xy x

           

Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB = 1, AC = x và  0 60 . BAC  Các điểm M, N được xác định bởi 2 MC MB   

và 2 NB NA   

. Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau. Câu 6 (2 điểm). Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có

2 2 2 1 . . . ( ) 6 GAGB GBGC GC GA AB BC CA        

.

Câu 7 (2 điểm). Cho , , [2018;2019] x y z  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

| 2018.2019 | | 2018.2019 | | 2018.2019 | ( , , ) ( ) ( ) ( ) xy yz zx f x y z x y z y z x z x y         

.

--------------------- Hết ---------------------

Họ và tên thí sinh:........................................... Số báo danh: ................................ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học : 2018 – 2019 Môn: Toán Lớp: 10 Ngày thi: 26/01/2019 Câu Nội dung Điểm 1)Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. 2,0 1(4đ)

2) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 3 0(*) x mx m    

* Tìm được điều kiện để dường thẳng cắt đồ thị hàm số tai A, B là 3 m  hoặc 1 m 

* Gọi 1 2 , x x là các nghiệm pt (*), ta có 1 2

1 2

2 2 3 x x m x x m

      

* 1 1 2 2 ( ;3 1), ( ;3 1) A x x B x x   . Tính được

1 2 1 2 . 0 10 3( ) 1 0 31 26 31 0 26

OAOB x x x x

m m

     

    



Kết luận 31 26 m 

0.5

1

0.5

Hàm số xác định khi 1 0 1 2 0 2 x m x m x m x m

                      

Tập xá định của hàm số là [ 1;2 ) D m m   với điều kiện

1 2 1. m m m    

1

2(2đ) Hàm số xác định trên ( 1;3)  khi và chỉ khi ( 1;3) [ 1;2 )

0 1 1 3 2 3 2

m m

m m m

m

  

         

. Vô nghiệm.

Kết luận không có giá trị của m

1

2

2 2 2 7 0 1) 3 1 7 2

3 1 (2 7)

7 2

5 5 10

3

x x x x

x x x

x

x x

x

                      

Kết luận  5 S  .

2

2

2) 3 1 4 3 5 4

3 1 0 4 3 0

3 1 4 3 2 (3 1)(4 3) 5 4

3 3 3 4 4 (3 1)(4 3) 3 11 12 0

3 3 4

1 1 12 11

x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x x

x

x x

x

                                                                 

Kết luận Kết luận  1 S  .

2

3(5đ)

3 2 3) 3 3 5 2 3 10 26 0. x x x x x        

Đk: 5 1 2 x   .

Phương trình viết lại:

1