Đề thi chọn HSG Toán 10 năm học 2017 - 2018 cụm Tân Yên - Bắc Giang

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 CỤM TÂN YÊN Ngày thi: 28/01/2018 MÔN: TOÁN 10 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (6 điểm) Cho phương trình 2 2 3 4 0     x x m (m là tham số).

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 1 2 4    x x x x .

c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn   3;4  .

Câu 2: (2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):

   

2 2 3 2 1 1 0 x m x m m      

có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn điều kiện 1 2 4 x x   . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức sau:   3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 8 P x x x x x x      .

Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình

3 2 3 4 81 8 2 2 3 x x x x      ;   x

Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2 2 2 6 2 2 3 0

( )( 3) 3( ) 2

               

x y y y

x y x xy y x y .

Câu 5: (2 điểm) Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2          a a b b c c P c a b a b c b c a

Câu 6: (2 điểm) Không dùng máy tính hãy tính tổng

P = 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 0 cos 1 cos 2 cos 3 cos 4 ... cos 180       .

Câu 7: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm   1;2 A và   4;3 B . Tìm tọa độ

điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc bằng 0 45 .

Câu 8: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC và các điểm , , M N P thỏa mãn BM k BC   ,

2 3    CN CA, 4 15    AP AB. Tìm k đểAM vuông góc với PN .

…………………Hết………………… Họ và tên thí sinh:……………………………..…………Số báo danh:……………….

CỤM TÂN YÊN

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học 2017 – 2018 Môn thi: Toán – Lớp 10 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu Nội dung Điểm 1 Cho phương trình 2 2 3 4 0     x x m (m là tham số).

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.

b) Tìm m để pt có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 1 2 4    x x x x .

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn   3;4  .

a) Để phương trình có hai nghiệm thì 21 (3 4) 0    m 1

5 3   m . KL 1

b) Khi 5 3  m thì 1 2

1 2

2

3 4

      

x x

x x m (Không có bước này không trừ điểm) 0.5

2 2 2 2 1 2 1 2 4    x x x x

 

2 2

2 (3 4) ( 2) 2(3 4) 4

9 18 0

0;2

     

  

 

m m

m m

m

1

Kết hợp với 5 3  m được 5 0;3       m . KL 0.5

c) Nghiệm của pt 2 2 3 4 0     x x m là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 2 2   y x x và 3 4   y m 0.5

Vẽ bảng biến thiên của hàm số 2 2   y x x trên đoạn   3;4  . 0.5 Từ bảng biến thiên để phương trình 2 2 3 4 0     x x m có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn   3;4  thì 1 3 4 3    m . 0.5

1 5 ; 3 3        m . KL 0.5

2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):

   

2 2 3 2 1 1 0 x m x m m      

có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn điều kiện 1 2 4 x x   . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:   3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 8 P x x x x x x      .