Đề thi học sinh giỏi Toán 10 cấp tỉnh năm 2016 - 2017 sở GDĐT Lai Châu

Trang 1/1

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09/4/2017

Câu 1 (3,0 điểm)

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 2 2( 1) 3 6 y mx m x m = − − + − cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1x và 2x thỏa mãn điều kiện

1 2 2 1 x x + =

Câu 2 (7,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 3 5 2 x x x + − − = −

b) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 3 7x y 3xy(x y) 12x 6x 1 (x,y ) 4x y 1 x 3x 2y 8

 + + − − + =  ∈  + + + + + =  

Câu 3 (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm ( ) A 1;3 − ,

đường phân giác trong góc A có phương trình x y 2 0 + − = , tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC là ( ) I 3;6 . Viết phương trình đường thẳng BC, biết

diện tích tam giác ABC gấp 4 lần diện tích tam giác IBC.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn xy yz zx xyz + + = . Chứng minh

rằng:

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 9 4 x y y z x z z x y x y z y x z + + ≥ + + +

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AH, (H BC ∈ ) và tâm đường tròn nội tiếp là I. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O) và D là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MD cắt các đường thẳng BC, AH theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh rằng tam giác IPQ vuông.

--------------------Hết---------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ THI SỐ 01

(Đề thi có 01 trang)

Trang 1/5

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09/4/2017

Câu Ý Đáp án Điểm

1

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 2 2( 1) 3 6 y mx m x m = − − + − cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1x và 2x thỏa mãn điều kiện 1 2 2 1 x x + =

Xét phương trình hoành độ 2 2( 1) 3 6 0 mx m x m − − + − = (1)

Để đồ thị hàm số 2 2( 1) 3 6 y mx m x m = − − + − cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

0,5

Tức là

' 2 0

2 4 1 0

m

m m

≠  ∆= − + + > 

⇔

0

6 6 1 1 2 2

m

m

≠ − < < + 

(2) 0,5

Gọi 1x và 2x là nghiệm của phương trình (1), bây giờ ta tìm điều kiện để

1 2 2 1 x x + = (3)

Theo định lý Vi ét ta có: 1 2 2( 1) m x x m − + = (4)

1 2 3 6 m x x m − = (5)

1,0

Từ (3) và (4) ta có 1 3 4 m x m − = ; 2 2 m x m − =

Thế biểu thức của 1x và 2x vào (5) ta được 2 2, 3 m m = = thỏa mãn (2)

1,0

2

a) Giải phương trình 2 3 5 2 x x x + − − = −

b) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 3 7x y 3xy(x y) 12x 6x 1 (x,y ) 4x y 1 x 3x 2y 8

 + + − − + =  ∈  + + + + + =  

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI SỐ 01 (Gồm có 05 trang)

Trang 2/5

a

Điều kiện: 5 2 2 x −≤ ≤

Phương trình 2 3 5 2 2 3 5 2 x x x x x x + − − = − ⇔ + = − + −

( )( ) 2 3 3 5 2 x x x ⇔ − = − −

1,0

( ) ( )( ) 2

3 2

2 3 3 5 2

x

x x x

≥  ⇔  − = − − 

1,0

2

3 5 3 5 2 2 2 2 2 2 6 0 3 2

x x x x x x

 ≤ ≤   ≤ ≤   ⇔ ⇔ =       − − =    = −  

2 x ⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm 2 x =

1,0

b

Điều kiện: 3 2 0 x y + ≥

Ta có phương trình 3 3 2 7 3 ( ) 12 6 1 x y xy x y x x + + − − + =

3 2 3 2 2 3 8 12 6 1 3 3 x x x x x y xy y ⇔ − + −= − + −

1,0

( ) ( ) 3 3 2 1 2 1 1 x x y x x y y x ⇔ − = − ⇔ −= − ⇔ = − 1,0

Thay 1 y x = − vào phương trình 2 3 4 1 3 2 8 x y x x y + + + + + = ta được

2 3 3 2 2 8 0 x x x + + + + − = ( 2 x ≥−)

2 3( 3 2 2) ( 2 2) 4 0 x x x ⇔ + − + + − + − =

1,0

⇔

2 3 3 3 6 2 ( 2)( 2) 0 2 2 (3 2) 2 3 2 4

x x x x x x x

− − + + − + = + + + + + +

2 3 3 3 1 ( 2) 2 0 2 2 (3 2) 2 3 2 4 x x x x x

  ⇔ − + + + =     + + + + + +  

2 x ⇔ =

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( ) ( ) ; 2; 1 x y = −

1,0

3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm