Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 10 năm 2015 - 2016 sở GDĐT Hà Tĩnh

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: TOÁN; Lớp: 10 Thời gian làm bài: 180 phút (Đềthi có 01 trang, gồm 05 câu) ————————–

Câu 1.

a) Giải phương trình x3 + 4x2 + 1 = x(x + 1) √

4x2 + 1.

b) Giải hệphương trình x2(x −1) = y(x −y2) x2 + √x + 1 = y + √y + 1.

Câu 2. Tìm tất cảcác giá trịcủa tham sốm đểphương trình sau có nghiệm m(√x −2 + √6 −x) + 2 √

−x2 + 8x −12 = 0.

Câu 3.

a) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O có AB = c, BC = a, CA = b.

Gọi D là giao điểm của các tiếp tuyến tại B và C của (O). Chứng minh sin [ DAB

sin [ DAC = c

b

và AD = bc p

2(b2 + c2) −a2

b2 + c2 −a2 .

b) Trong mặt phẳng với hệtrục tọa độOxy, cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH (H ∈BC) và D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi F là điểm đối xứng với B qua E. GiảsửF(−3; 3) và đường trung trực của CH có phương trình x −1 = 0. Tìm tọa độgiao điểm M của các đường thẳng HD, FA. Tìm tọa độgiao điểm N của tia CD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (N ̸= C), biết đường thẳng đi qua N và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HCF có phương trình x −2y −1 = 0.

Câu 4. Một vùng đất hình chữnhật ABCD có AB = 25 km, BC = 20 km và M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Một người cưỡi ngựa xuất phát từA đi đến C bằng cách đi thẳng từA đến một điểm X thuộc đoạn MN rồi lại đi thẳng từX đến C. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABNM là 15 km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần MNCD là 30 km/h. Tìm vịtrí của X đểthời gian ngựa di chuyển từA đến C là ít nhất?

Câu 5. Tìm giá trịlớn nhất của sốnguyên dương n sao cho tồn tại n tam thức bậc hai khác nhau từng đôi một thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) mỗi tam thức bậc hai có hệsốcủa x2 bằng 1; ii) tổng của 2 tam thức bậc hai bất kỳcó đúng 1 nghiệm. (Hai tam thức bậc hai là khác nhau nếu có ít nhất một hệsốtương ứng khác nhau).

————————————— HẾT ————————————— - Thí sinh không được sửdụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thịkhông giải thích gì thêm.

Họvà tên thí sinh: .....................................................................; Sốbáo danh: ..........................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN; Lớp: 10 (Hướng dẫn giải gồm 05 trang)

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án

3 2 2 4 1 ( 1) 4 1. x x x x x + + = + + (1) Ta có

( )( )

2 2 2 2 3

2 2 2 (1) 4 1 4 1 4 1 0

4 1 4 1 0

x x x x x x

x x x x

⇔ + − + − + + =

⇔ + − + − =

2 2 2

4 2

2 2

4 1 (do 4 1 0; )

4 1 0

2 5 (do 0; )

x x x x x x x

x x

x x x

⇔ + = + − > − ≥ ∀ ∈

⇔ − − =

⇔ = + ≥ ∀ ∈

ℝ

ℝ

1.a

2 5

2 5.

x

x

 = +  ⇔ = − + 

Đáp số: { } 2 5; 2 5 . S = + − +

2 2

2

( 1) ( ) (1)

1 1 (2)

x x y x y

x x y y

 − = −  + + = + + 

Điều kiện: 1; 1. x y ≥− ≥− Khi đó

2 2

2 2

(1) ( )( ) 0

.

x y x xy y x

y x

x xy y x

⇔ + − + − =  = −  ⇔ − + = 

Với y x = − thì (2) trở thành

( )

2

2 1 1

1 1 0

2 1 0 1 1 2 0 do 1 1 0; 1 . 1 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

+ + = −+ −+

⇔ + + + − − =

    ⇔ + + =   + + −          ⇔ = + + > + ≥ ∀ ≥−     + + −

Khi 0 x = thì 0. y =

1.b

Với 2 2 x xy y x − + = ta có 0. x ≥