Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2012 - 2013 trường THPT Thuận An - TT Huế

SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG THPT THUẬN AN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 10

NĂM HỌC 2012-2013

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh :............................................................... Số báo danh : .............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I. (4 điểm) Cho phương trình 2 (2 1) 2 0 mx m x m      , m là tham số

1. Tìm m để phương trình đã cho có một nghiệm.

2. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.

Câu II. (4 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 x y xy a

x y a

        (1) , a là tham số

1. Giải hệ phương trình (1) khi a = 5.

2. Tìm a để hệ phương trình (1) có nghiệm.

Câu III. (2 điểm) Giải phương trình: 13 3 16 x x x     

Câu IV. (4 điểm)

1. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N, P thỏa mãn 2 AM AB BC     , 3 BN BC AC     , 2 CP CA   . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A( - 2; -1); B(2; - 4). Tìm trên đường thẳng x = 1

điểm M sao cho góc  45o MBA  .

Câu V. (2 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác; , , a b c h h h là độ dài ba đường

cao tương ứng ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Chứng minh:

1 1 1 1

a b c h h h r   

Câu VI. (4 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh:

2 2 2

2 2 2 1 1 1 a b c b c c a a b a b c     

------------------------------------ Hết -------------------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

I.1

(2 điểm) Cho phương trình 2 (2 1) 2 0 mx m x m      , m là tham số

1. Tìm m để phương trình có một nghiệm

 m = 0: 2 x 

 0 m  : 4 1 m  

Pt có 1 nghiệm 1 0 4 m   

Vậy: m = 0 hoặc 1 4 m 

0,25đ

0,5đ

0,25đ

I.2

2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

Pt có 2 nghiệm

1 0 4 0 0

m m m

             

Theo Viet và gt ta có:

1 2

1 2

1 2

1 2

2 .

2

m x x m m x x m x x

             

Giải được: 2 10 2 0 m m   

5 3 3

5 3 3

m

m

       (thỏa)

Vậy 5 3 3

5 3 3

m

m

      

0,25đ

0, 25đ

0, 5đ

II.1

(2 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 x y xy a

x y a

        , a là tham số

1. Giải hệ phương trình khi a = 5

0,25đ

a = 5: ta có 2 2 5

5

x y xy

x y

          2 5

2 5

x y xy

x y xy

        

đặt S = x + y ; P = xy , ta có: 2 5

2 5

S P

S P

       3 2 S P      hoặc 5

10

S

P

    

+ Với 3 2 S P      giải được 1 2 x y      hoặc 2 1 x y     

+ Với 3 2 S P      : vô nghiệm

Vậy hpt có 2 nghiệm (1;2);(2;1)

0,25đ

0,25đ

0,25đ

II.2

2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm

Ta có: 2 2 3 0 S S a    (*)

3 1 a  

 1 3 a  : (*) vô nghiệm

 1 3 a  : (*) có nghiệm S = -1 2 3 P   : vô nghiệm

 1 3 a :(*) có 2 nghiệm:

1

1

1 1 3

1 1 3

S

P a

        hoặc

2

2

1 1 3

1 1 3

S

P a

       

ĐK hệ pt có nghiệm 2 4 0 S P  

(a) 2 1 1 4 0 S P   giải được : 0 8 a  

(b) 2 2 2 4 0 S P   : vô nghiệm

Vậy 0 8 a  

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

III

(1 điểm) Giải phương trình: 13 3 16 x x x      (*)

ĐK: 3 16 x  

Với ĐK trên (*)  

2 13 3 16 x x x      

0,25đ

0,25đ