Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn: Toán – Lớp: 11 THPT.

Thời gian làm bài: 150 phút.

Đề thi gồm: 02 trang.

Câu 1 (2,0 điểm). Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là 25 . HK m = Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí . C Gọi , A B lần lượt là vị trí thấp nhất và

cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (tham khảo hình vẽ). Hãy tính số đo góc  ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất) biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là

37 , 4 , 26 CK m AH m BH m = = = (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Câu 2 (2,0 điểm). Phòng chăm sóc khách hàng của công ty A làm việc từ 8h00 sáng đến 20h00 mỗi ngày. Nhân viên trực tổng đài làm việc theo 2 ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 8h00 đến 16h00 và ca II từ 12h00 đến 20h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng dưới đây):

Khoảng thời gian làm việc Tiền lương/giờ 8h00 – 16h00 32 000 đồng 12h00 – 20h00 30 000 đồng Để chăm sóc khách hàng tốt nhất thì cần tối thiểu 2 nhân viên trong khoảng từ 12h00 – 20h00, tối thiểu 10 nhân viên trong giờ cao điểm từ 12h00 – 16h00 và không quá 9 nhân viên trong khoảng từ 8h00 – 16h00. Do lượng khách hàng trong khoảng 8h00 – 16h00 thường đông hơn nên phòng chăm sóc khách hàng cần số nhân viên ca I ít nhất phải gấp 1,5 lần số nhân viên của ca II. Em hãy giúp công ty A chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Câu 3 (2,0 điểm). Giải phương trình lượng giác: 2023 cos2 2cos 2cos 0. 2 x x x π   + + − =    

Câu 4 (2,0 điểm).

a) Cho 1 2 ... n n S n n n = + + + . Tính ( ) 2 lim 2 1 . n S n n − + +

b) Cho hàm số bậc hai ( ) y f x = có đồ thị là một parabol đỉnh 3 4 ; 5 5 I   − −    

và đi qua điểm ( ) 0;1 . A

Tính ( )

( )

2

2 1 1 2 2 1 lim . 1 x f x x x

x →− + − − −

+

Câu 5 (2,0 điểm). Đường Vôn Kốc là một hình có tính chất: toàn bộ hình “đồng dạng” với từng bộ phận của nó. Nó được xây dựng bằng phương pháp lặp như sau: Từ đoạn thẳng AB ban đầu ta chia đoạn thẳng đó thành ba phần bằng nhau , AC CD DB = = dựng tam giác đều CED rồi bỏ đi khoảng CD ta được đường gấp khúc ACEDB kí hiệu là 1. K Lặp lại quy tắc đó cho các đoạn , , , AC CE ED DB ta được đường gấp khúc 2 K (hình vẽ). Tiếp tục lặp lại quy tắc đó cho từng đoạn của 2 K ta được đường gấp khúc 3... K . Lặp lại mãi quá trình đó ta

nhận được dãy các đường 1 2 3 , , , ..., , ... n K K K K . Gọi n u là độ dài đường gấp khúc . n K Giả sử đoạn thẳng AB có độ dài là 1 mét.

a) Tính độ dài đường gấp khúc 8. K

b) Tính

1 3 2 4 17 19 18 20

1 1 1 1 ... . u u u u u u u u + + + + − − − −

Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có 2 , 2. SA a BC a = = Gọi E là

điểm thuộc cạnh SB sao cho 3 , SE EB = F là điểm thuộc cạnh AD sao cho 1 . 3 AF FD =

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF song song với mặt phẳng ( ). SCD

b) Gọi M là điểm di động trên cạnh SB sao cho M khác S và . B Mặt phẳng ( ) α qua , M song song

với SA và . BC Gọi , , N P Q lần lượt là giao điểm của , , AB AC SC với mặt phẳng ( ). α Tìm giá trị

nhỏ nhất của 2 2 MP NQ + theo .a

Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại , B ( ). SA ABC ⊥ Gọi D là

điểm đối xứng với S qua , A K là trực tâm của tam giác . SCD Trong mặt phẳng ( ), ABC kẻ đường thẳng ∆

vuông góc với AC tại K và cắt AB tại . H a) Chứng minh rằng đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng ( ). SHK

b) Giả sử 3, 3 . SA a AC a = = Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( ). SHK Tính sin ? ϕ

Câu 8 (2,0 điểm). Một hộp có 25 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Hai bạn An và Bình chơi trò chơi rút thẻ trong hộp như sau: hai bạn lần lượt rút thẻ, mỗi lượt rút ngẫu nhiên một thẻ rồi ghi lại số trên thẻ vừa rút sau đó trả lại thẻ vào hộp. An sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 6, Bình sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 5. Giả sử An chơi trước, tính xác …