Đề thi Olympic Toán 11 năm 2023 - 2024 cụm Hoàn Kiếm Hai Bà Trưng - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT HOÀN KIẾM – HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024

Môn Toán - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài I (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

1)    sin cos 2sin 1 2 2sin 2 . x x x x    

2) 1 sin 1 2sin . tan cos 1 x x x x   

Bài II (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

1)   2 2 lim 1 4 2 1 3 . n n n n n n     

2)

3

0

1 1 2 1. lim

x

x x x 

  

Bài III (3,0 điểm) Cho bất phương trình   2 2 1 2

2 log 2 log 3 1 0. x x x m     

1) Giải bất phương trình đã cho khi 2. m  2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng   2;3 . 

Bài IV (1,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số 0 xuất hiện đúng 3 lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc , S tính xác suất để số đó chia hết cho 5.

Bài V (6,0 điểm) Cho hình chóp . S ABC có cạnh 6 , 2 a SB  các cạnh còn lại của hình chóp bằng .a

Gọi I là trung điểm . AC

1) Chứng minh SI vuông góc với đường thẳng . BC

2) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và . SC

3) Gọi G và ' G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác . SAC Một mặt phẳng đi qua G và ' G cắt hai cạnh , SA SC lần lượt tại M và . N Khi MN đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích của tam giác . GMN

Bài VI (4,0 điểm)

1) Cho cấp số cộng   n u thỏa mãn 1 1 u  và công sai 0. d  Chứng minh

1 2 2 3 2023 2024

1 1 1 1 . ... u u u u u u d    

2) Cho dãy số   n u được xác định như sau

1

1

3

2 1, 1,2,3,... n n

u

u u n n 

       

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số  . n u Tính . lim 3

n n n

u



-----------------HẾT----------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:……………………………………………………………Số báo danh:……………….. Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT HOÀN KIẾM – HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024

Môn Toán - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm Bài I.1

1)    sin cos 2sin 1 2 2sin 2 x x x x     2,0đ

Ta có      sin cos 2sin 1 2 1 2sin cos x x x x x     0,5

    

2 sin cos 2sin 1 2 sin cos x x x x x      0,5

 

sin cos 0

2sin 1 2 sin cos

x x

x x x

      

sin 0 4 1 cos 2

x

x

            

  

0,5

  4 . 2 3

x k

k x k

           

 0,5

Bài I.2

2) 1 sin 1 2sin tan cos 1 x x x x    2,0 đ

Điều kiện  

sin 0 cos 0 2 cos 1

x

k x x k

x

           

 0,25

Ta có 1 sin 1 2sin tan cos 1 x x x x    cos sin 1 2sin sin cos 1 x x x x x    

     

2 cos cos 1 sin 1 cos 1 2sin 1 2sin sin cos 1 sin cos 1 x x x x x x x x x x         

0,5

2 1 2sin 1 2sin sin 1 0 sin x x x x      0,5

 

2 2 sin 1

2 1 6 sin 2 7 2 6

x k x

x k k x

x k

     

           

  



 

 

 

0,5

Kết hợp điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm là   7 2 , 2 . 6 6 x k x k k          0,25

Bài II.1   2 2 lim 1 4 2 1 3 n n n n n n      1,0 đ

Ta có   2 2 lim 1 4 2 1 3 n n n n n n        2 2 lim 1 4 2 1 2 n n n n n n n        0,25