Đề Olimpic Toán 11 năm 2023 - 2024 cụm Thạch Thất Quốc Oai - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM THẠCH THẤT-QUỐC OAI

Kỳ thi Olimpic cấp Cụm các môn văn hóa

lớp 10 và 11 năm học 2023-2024

Môn: Toán 11 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Họ và tên thí sinh:…………………………………….Số báo danh:…………………………

Câu 1 (5 điểm)

a) Giải phương trình

2 2cos 3sin 0. x x  

b) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , , M N E lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng , AD SD và SC . Chứng minh rằng ( ) / /( ) MNE SAB .

Câu 2 (5 điểm)

a) Cho các số 5 , 2 3 , 2 x y x y x y    theo thứ tự lập thành cấp số cộng, các số

2 2 ( 1) , 1, ( 1) y xy x    theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm ,x y .

b) Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.

Câu 3 (4 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2 2 log (2 ) log 1 0 x x m    có đúng 2

nghiệm phân biệt thuộc khoảng   0;1 .

b) Cho dãy số ( ) n u được xác định bởi

1

2

1

2

2024 * , 2025

n n n

u

u u u n N 

     

Đặt 1 2

2 3 1

* ... , 1 1 1

n n

n

u u u S n N u u u          . Chứng minh rằng * 2025, n S n N   .

Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA SB SC   , đường cao SO của hình chóp .S ABCcó độ dài bằng 2a.

a) Chứng minh rằng SA BC  .

b) M là điểm thuộc đường cao AH của tam giác ABC ( M khác A và H ). Mặt phẳng  P đi qua M và vuông góc với AH cắt hình chóp theo thiết diện. Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 5 (2 điểm). Cho các số thực , , a b c lớn hơn 1, thỏa mãn

       

       

2 2 2

144 log 5 16 27 log 2 a b c ab bc ca ab bc ca

Tính giá trị của biểu thức   2 3 T a b c .

-----------------Hết----------------- (Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Chữ kí cán bộ coi thi số 1:................................Chữ kí cán bộ coi thi số 2:..........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – MÔN TOÁN – LỚP 11-NĂM HỌC 2023-2024

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

1a

3đ

Giải phương trình 2 2cos 3sin 0. x x  

PT đã cho tương đương với PT 2 2sin 3sin 2 0 x x   

sin 2 1 sin 2

x

x

     

* sin 2 x  vô nghiệm;

* 2 1 6 sin , 5 2 2 6

x k x k Z x k

 

 

         

KL: Phương trình đã cho có 2 họ nghiệm là

5 2 , 2 ,( ) 6 6 x k x k k Z         

1.0

1.0

1.0

1b

2đ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, SD và SC. Chứng minh rằng (MNE)//(SAB).

Hình vẽ. HS vẽ đúng hình

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD

/ / / /( ) MN SA MN SAB   (1)

0.5

Ta có NE là đường trung bình của tam giác SDC / / NE CD  0.5

Do ABCD là h.b.h / / / / / /( ) CD AB NE AB NE SAB    (2) 0.5

Từ (1) và (2) suy ra ( ) / /( ) MNE SAB 0.5

2a

3đ

Cho các số 5 , 2 3 , 2 x y x y x y    theo thứ tự lập thành cấp số cộng, các số

2 2 ( 1) , 1, ( 1) y xy x    theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính ,x y .

5 , 2 3 , 2 x y x y x y    theo thứ tự lập thành cấp số cộng

2(2 3 ) ( 2 ) (5 ) 2 7 0 (1) x y x y x y x y         

0.5

2 2 ( 1) , 1, ( 1) y xy x    theo thứ tự lập thành cấp số nhân

2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1)

1 ( 1)( 1) (2) 1 ( 1)(1 ) (3)

xy y x

xy y x xy y x

    

        

0.5