Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 11 chuyên đợt 2 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỢT 2

Môn thi: TOÁN 11 (CHUYÊN) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 15/3/2024

Câu 1. (3,0 điểm) Cho dãy số thực ( ) nu xác định bởi 1 1 3 3 1; 3 2 3

n n n

u u u u + = = + với mọi

* n∈. Chứng minh dãy ( ) nu có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số đa thức : f →   thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4, , f xf y f xy f x x y = + − ∀ ∈.

Câu 3. (3,0 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của , x y thỏa mãn phương trình

2 2 2 3 3 . x y xy − = − b) Tìm tất cả các số nguyên dương , m n và số nguyên tố p thỏa mãn

( )( ) 3 3 3. m n m n p + + =

Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( ) AB AC < và điểm D nằm trên đường trung tuyến AM kẻ từ đỉnh A của tam giác (D khác A). Gọi E là điểm trên đoạn MC (E khác M, C). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D lên AB và AC. Gọi (C1) và (C2) lần lượt là hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE và CKE, (C1) cắt (C2) tại điểm thứ hai là L. Gọi d là đường thẳng kẻ từ B vuông góc với BC, d cắt (C1) tại điểm thứ hai là I, N là giao điểm thứ hai của IL và (C2).

a) Chứng minh BI song song NC. b) Gọi P là giao điểm của IL và BC. Chứng minh tứ giác ALMP nội tiếp đường tròn.

Câu 5. (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB được chia thành bốn phần bằng nhau bởi ba điểm M, N, P (hình vẽ). Ta đánh dấu 2024 điểm phân biệt trong đoạn AB bằng cách chia đều trong mỗi đoạn AM, MN, NP, PB có 506 điểm, thỏa mãn điều kiện với một điểm bất kỳ thuộc đoạn AM thì tồn tại một điểm thuộc đoạn MN đối xứng với nhau qua M; tương tự với một điểm bất kỳ thuộc đoạn PB thì tồn tại một điểm thuộc đoạn NP đối xứng với nhau qua P. Sau đó ta thực hiện tô màu đỏ cho 1012 điểm tùy ý và 1012 điểm còn lại màu đen. Chứng minh tổng các khoảng cách từ A đến các điểm màu đỏ bằng tổng các khoảng cách từ B đến các điểm màu đen.

Câu 6. (3,0 điểm) Cho hai số thực , x y thỏa mãn 0, 0 x y  . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức 2 2 2 2 1 1 3 2 4 4 8 2 2 2 2 P x y xy x y x x y y             .

---------- HẾT ----------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Họ và tên thí sinh:......................................................; Số báo danh...........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỢT 2

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 11 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 07 trang)

Câu Nội dung Điểm

1

Câu 1. (3,0 điểm) Cho dãy số thực ( ) nu xác định bởi 1 1 3 3 1; 3 2 3

n n n

u u u u + = = + với mọi

* n∈. Chứng minh dãy ( ) nu có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

3,0

Nhận xét dãy số

* 0 . nu n > ∀∈

Biến đổi

2 1 3 1

3 1 1 2 3 2 3 3

n n n n n n

u u u u u u + +

  = ⇔ = +   +  

Đặt dãy số 1 0 n n x u = > ta được 1 2 1 3 2 3 n n n x x x +   = +    

0,25

0,25

Dùng BĐT AM-GM ta được:

3 1 2 1 3 3 3 n n n n x x x x +   = + + ≥    

suy ra 3

3 1 1 3 3 n n n x u u = ≥ ⇔ ≤ 0,5

Dấu bằng xảy ra khi 1 3 3 3 1 2 3 3

n n n

u u u + = = + hay là 1 3 1 3 u = điều này vô lý, nên dấu

bằng không xảy ra.

0,25

Vậy ta luôn có

3 1 3 nu < ( bị chặn trên ) 0,25

Mặt khác xét ( ) 3 4

1 3 3 3 3 1 3 3 3 1 0; 2 3 2 3 2 3

n n n n n n n n n n n n

u u u u u u u u u u u u + − −   − = − = = > <   + + +  

0,5

Suy ra dãy số tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn L. 0,5

Từ công thức truy hồi suy ra 3 3 3 1 2 3 3 L L L L = ⇔ = + . Vậy 3 1 lim 3 n u  0,5