Đề học sinh giỏi Toán 11 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hà Nam

Trang 1/2

Câu I. (4,0 điểm)

1. Chứng minh:

4 3 1 1 sin cos2 cos4 8 2 8 x x x = − + . Từ đó tính giá trị biểu thức

4 4 4 4 3 5 7 sin sin sin sin 16 16 16 16 P π π π π = + + + .

2. Cho phương trình ( ) ( ) 0 1 sin 2 1 2 2cos si 2 1 n m x m x x − − =  +    + + , với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc 2 ; 12 3 π π     

.

Câu II. (4,0 điểm)

1. Cho hình vuông 1 C có cạnh bằng .a Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành sáu

phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông 2. C Từ hình

vuông 2 C lại làm như trên được hình vuông 3 C ; cứ tiếp tục như vậy ta nhận được dãy các

hình vuông 1 C , 2 C , 3 C ,..., n C ... (tham khảo hình vẽ).

Gọi iS là diện tích của hình vuông { } ( ) 1,2,3,..... i C i∈ . Đặt 1 2 3 ... ... n T S S S S = + + + + + .

Biết 288 5 T = , tính a ?

2. Cho dãy số ( ) nu xác định như sau:

1

1

1

2

9 24 5 13

n n n

u

u u u

−

−

=   − −  =  + 

( , 2) n n ∈ ≥  .

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ( ) nu và tính lim nu .

Câu III. (2,0 điểm) Cho hàm số ( ) ( )

2

3 1 2 1 khi 4 3 1 2 , , , 1 khi 2 2

ax bx x x x f x a b c c x

 + − − ≠  − + = ∈   = 

.

Tìm a ,b ,c để hàm số liên tục tại điểm 0 1 2 x = .

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút

Trang 2/2

Câu IV. (2,0 điểm) Ba hộp chứa các viên bi giống nhau về kích thước. Hộp (I) chứa a viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu xanh. Hộp (II) chứa b viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Hộp (III) chứa 6 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra một viên bi. Biết xác suất lấy ra ít nhất một viên bi màu đỏ là 0,976 và xác suất lấy ra cả ba viên bi màu đỏ là

0,336 . Tìm a , b và tính xác suất lấy được đúng hai viên bi màu đỏ. Câu V. (6,0 điểm)

1. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang ( ) // AB CD , cạnh 3 AB a = ,

. AD CD a = = Tam giác SAB cân tại , S 2 SA a = . Trên đoạn AD lấy điểm . M Mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng , . SA AB Mặt phẳng ( ) α cắt các

cạnh , , BC SC SD theo thứ tự tại , , . N P Q Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang cân và tìm vị trí điểm M để MNPQ ngoại tiếp được đường tròn.

2. Cho hình lập phương . . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Chứng minh mặt phẳng ( ) A BD ′ song song với

mặt phẳng ( ). CB D ′ ′ Tìm vị trí điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD′ để đường

thẳng MN vuông góc với mặt phẳng ( ) A BD ′ .

3. Gia đình bác An muốn làm mái tôn cho sân thượng là hình chữ nhật ABB A ′ ′ với kích thước chiều dài 8 AA m ′ = và chiều rộng 5 AB m = . Bác dự định làm mái tôn (kín) có thanh ngang 6 CC m ′ = nằm chính giữa mái, song song và cách mặt sàn sân thượng 1,4m (tham

khảo hình vẽ). Biết rằng chi phí làm mái tôn trọn gói cho

2 1m là 250000vnđ. Tính số tiền

bác An phải chi trả (làm tròn đến hàng nghìn).

Lưu ý: Khoảng cách giữa thanh ngang và mặt sàn là độ dài đoạn thẳng nối một điểm thuộc thanh ngang đến hình chiếu của điểm đó trên mặt sàn. Câu VI. (2,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn abc a c b + + = . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a b c = − + + + + .

--- HẾT---

Họ và tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:................................................... Cán bộ coi thi số 1:…………………………….. Cán bộ coi thi số 2:..……………......................