Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 - 2024 trường THPT Bình Chiểu - TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT BÌNH CHIỂU

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2023 - 2024

MÔN: TOÁN 11 Ngày thi: 19/01/2024 - Thời gian: 120 phút

Câu 1 (5 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau:

a. sin3 cos2 sin 1 0 + + + = x x x

b. ( ) 2 4sin tan 2 1 tan sin3 1 + + + = x x x x

Câu 2 (2 điểm): Tỉ lệ tăng dân số mỗi năm của một tỉnh X từ năm 2010 đến năm 2019 là 0,4%. Vì thực hiện các chính sách về dân số nên tỉnh X dự kiến từ năm 2020 đến năm 2030 tỉ lệ tăng dân số mỗi năm chỉ còn lại 0,35% . Theo thống kê số dân tỉnh X năm 2021 nhiều hơn năm 2017 là 30400 người. Hỏi số dân tỉnh X năm 2030 khoảng bao nhiêu?

Câu 3 (6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 3BC. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của SC, BC.

a) Gọi E, O lần lượt là trung điểm của SB, AC và G, N lần lượt là trọng tâm của SAB , ABC . Chứng minh rằng: đường thẳng NG song song với mặt phẳng (SBC).

b) Gọi =  I AK CD , ( ) =  L SD AMN . Tính tỉ số SL

SD .

Câu 4 (5 điểm) Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này sẽ bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã)

(Nguồn: Đại số và giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021)

Gọi nu là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát nu của dãy số ( ) nu

b. Chứng minh rằng ( ) nu có giới hạn bằng 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng phóng xạ đã cho ban đầu

không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10−g .

Câu 5 (2 điểm) Cho hai số tự nhiên ;n k thỏa mãn: 3 +  k n

Chứng minh tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho 1 2 ; ; + + k k k n n n C C C là ba số hạng liên tiếp của một

cấp số cộng.

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:................................................

ĐÁP ÁN TOAN 11

Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 5 điểm a) sin3 cos2 sin 1 0 x x x + + + =

2 2sin2 cos 2cos 0 x x x  + = ( ) 2 2cos 2sin 1 0 x x  + =

2

2 ( ) 6 7 2 6

x k

x k k

x k

 

 

 

 = +     = − +     = + 

b) ( ) 2 4sin tan 2 1 tan sin3 1 x x x x + + + =

ĐKXĐ: ( ) 2 x k k    + 

Phương trình đã cho tương đương với:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

2

2 2

4sin 2 tan 1 2 1 tan sin3 0

2 sin os tan 1 2 1 tan sin3 0

sin os x sin os x 2 sin os x sin os x 2 sin3 0 cos cos 1 sin3 sin os 2sin 2 os x+ 2 0 cos cos

sin cos 0(3)

2sin 2os x+

− + + + + =

 − + + + + =

+ +  − + + + =

   + − + =     + =  −

x x x x

x c x x x x

x c x c x c x c x x x x x c x x c x x

x x

x 1 sin3 2 0(4) cos cos

   + = 

x x x

Giải (3) : sin cos 0 sin 0 ; 4 4 x x x x k k      + =  + =  = − +     

Giải (4):

2 sin 2 2cos 1 2 sin3 0

2 20 5 os 2x - sin 2x = 2 sin3 sin 2 sin3 ; 3 4 2 4

x x x

k x c x x x k x k

  

 

 − + + =

= +      − =         = + 

Đối chiếu điều kiện phương trình có họ nghiệm sau:

2 3 ; ; 2 ; 4 20 5 4 k x k x x k k       = − + = + = + 

0.5x2 0.5 1.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25

Câu 2: 2 điểm Gọi số dân tỉnh X năm 2010 là n (người).