Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 - 2021 trường THPT Đông Hà - Quảng Trị

Đề thi gồm 1 trang

TRƯỜNG THPT ĐÔNG HÀ

TỔ TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 15 /4/2021

Câu 1. (5,0 điểm).

1. Tìm số nguyên dương n biết rằng:

1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... 1024 n n n n n C C C C           .

2. Một trường có 50 học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học

sinh trong số 50 học sinh để tham gia trại hè. Tính xác suất để 3 em được chọn không có cặp anh em sinh đôi.

Câu 2. (2,0 điểm). Giải phương trình

2 2 2 1

x x

x   

.

Câu 3. (5,0 điểm).

1. Cho ba số 0, 0, 0 a b c    thỏa mãn 2 2 2 3 a b c    . Chứng minh rằng

3 3 3

2 2 2

3 . 2 3 3 3

a b c

b c a      

2. Chứng minh dãy số   n u với 2 2 2 1 1 1 ... 1 2 n u

n     là một dãy số tăng và bị chặn.

Câu 4. (2,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 1 2 9 6 P x y y x y y        

trong đó ,x y là các số thực thỏa mãn 1 2 y x  .

Câu 5. (6,0 điểm).

1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2 , AB a AD a   ( ) SA ABCD  và SA a  , M là trung điểm của CD .

a) Tính góc giữa SM và mp( ) SAB .

b) Tính theo a khoảng cách từ A đến mp ( ) SBM

2. Cho , , M N P lần lượt là trung điểm của ba cạnh , , BC CA AB của ABC  . Gọi , , H G O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  , I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP  . Chứng minh , , , H G O I thẳng hàng.

.........HẾT........

Họ và tên:………………………….……… Lớp:………SBD:……

Đề thi gồm 1 trang

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2020-2021.

MÔN TOÁN

Câu Nội dung Điểm

Câu 1.1

(2 điểm)

+Xét khai triển

2 1 0 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

(1 ) ... (1)

(1 ) ... (2)

n n n n n n n n n n n n n n

x C C x C x C x

             

     

     

+Trừ từng vế (1), (2) ta có

2 1 2 1 1 1 3 3 5 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (1 ) (1 ) 2( ... ) n n n n n n n n x x C x C x C x C x                 (3)

+Thay 1 x  vào (3) rồi chia hai vế cho 2 ta có

1 3 5 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 n n n n n n C C C C          

+Suy ra 2 10 2 1024 2 2 10 5 n n n      

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 1.2

(3 điểm)

+Số cách chọn 3 học sinh bất kì từ 50 học sinh là 3 3 50 50 19600 C C  

+Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi là 4.48

Gọi biến cố A: “Chọn được 3 học sinh không có cặp anh em sinh đôi”

+Ta có 3 50 4.48 19408 A C    

+

19408 1213 ( ) 19600 1225

A P A

    

1

0,5

1

0.5

Câu 2

(2 điểm)

+Điều kiện 1 1 x x    hoặc 1 x 

1 x  Phương trình vô nghiệm

+Xét 1 x : Đặt 1 , 0; cos 2 x t t

            Ta có phương trình

1 1 2 2 sin cos 2 2 sin cos cos sin t t t t t t     

2 sin 2 sin2 sin2 sin 4 4 t t t t                                

0.5

1

Đề thi gồm 1 trang

2 2 2 4 4 ( ) 2 2 2 4 4 3

t k t k

k t k t k

    

     

                                      

+

1 0; 2 2 4 cos 4

t t x  



               

thỏa 1 x 

Vậy nghiệm của phương trình là 2 x 

0.5

Câu 3.1

(3 điểm)

+Ta có

3 3 2 6

2 3

2 2

3 3 2 6

2 3

2 2

3 3 2 6

2 3

2 2

3 3 3 (1) 16 64 4 2 3 2 3

3 3 3 (2) 16 64 4 2 3 2 3

3 3 3 (3) 16 64 4 2 3 2 3

a a b a a b b b b c b b c c c c a c c a a

      

      

      

+Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có

2 2 2

2 2 2 9 3 ( ) 16 4 12 9 9 12 3 16 4 4 16 2

a b c P a b c

P P

      

      

Dấu “=” xảy ra khi 1 a b c   

1.5

1.5

Câu 3.2

(2 điểm)

Ta có * * 1 1 2 1 : , ( 1) n n n n n N u u u u n N n           

Dãy ( ) n u tăng

( ) n u tăng * 1 1, n u u n N     

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1.2 2.3 ( 1). 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 3 1

n u n n n

n n n

                                       …