Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 02 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 (2 ) 4 y x m x     có đồ thị là  P và điểm ( 5;5) A  . Tìm m

để đường thẳng ( ) : d y x m  cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác

OAMN là hình bình hành (O là gốc tọa độ).

Câu 2. (2,5 điểm) Cho phương trình   3 4 cos cos2 3 cos 1 0      x x m x

1. Giải phương trình khi 3. m = 2. Tìm giá trị nguyên của tham số m để phương trình có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng

; 2 2

          



Câu 3. (2,5 điểm) Giải hệ phương trình

( ) ( )

3 2 3

2 4 2 4 3 1 2 (2 ) 3 2

3 2 2 3 2 2 1 4

x x x x y y

x y x x y x

 − + −= − −  − + − − + + − = 

Câu 4. (4,5 điểm)

1. Cho hàm số

2 3 5 3 5 khi 1 ( ) , 1 2 khi 1

x x x y g x x mx x

             

với m là tham số. Tìm m

để hàm số ( ) g x liên tục trên . 

2. Cho dãy số  n u thoả mãn

1

1

1

2 , 1 4

n n n

u

u u n u 

        

. Tìm công thức số hạng tổng quát n u của

dãy số đã cho. 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau, mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần. Câu 5. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm (1;4) I , đỉnh A nằm trên đường thẳng có phương trình 2 1 0 x y    , đỉnh C nằm trên đường thẳng có phương trình 2 0. x y    Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông đã cho.

Câu 6. (5,0 điểm)

1. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho 3 SD SM = , điểm G là trọng tâm tam giác BCD .

a) Chứng minh rằng MG song song với mp( ) SBC .

b) Gọi ( ) α là mặt phẳng chứa MG và song với CD . Xác định và tính diện tích thiết diện của hình

chóp với mp ( ) α .

ĐỀ CHÍNH THỨC

c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC . Tính PQ theo a. 2. Cho tứ diện SABC có , , SA SB SC đôi một vuông góc; , , SA a SB b SC c = = = . Lấy một điểm M nằm trong tam giác ABC . Gọi 1 2 3 , , d d d lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng , , SA SB SC

Chứng minh rằng: ( )

2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 abc d d d a b b c c a + + ≥ + + .

Câu 7. (2,0 điểm)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 5 P a b b c c a ab bc ac = + + + − − − + +

Trong đó , , a b c là các số thực thỏa mãn hai điều kiện 1 0 , . a b c ab bc ca + + = + + >

2. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu nb là hệ số của 2 x trong khai triển

2 1 2

n x x            

thành

đa thức. Đặt

* 1 2 3 ... , . n n u b b b b n        Tìm số hạng tổng quát của dãy số   n u và

tính giới hạn lim n u .

=====Hết=====

Họ và tên thí sinh:........................................................... Số báo danh ..............................

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán - Lớp 11

Câu Lời giải sơ lược Điểm 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 (2 ) 4 y x m x     có đồ thị là  P và điểm ( 5;5) A  . Tìm m để đường

thẳng ( ) : d y x m  cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác OAMN là

hình bình hành (O là gốc tọa độ).

Hoành độ của M và N là nghiệm của pt:

2 2 (2 ) 4 (3 ) ( 4) 0 (1) x m x x m x m x m           Vì

2 2 25 0, m m m       1 nên  1 luôn có hai nghiệm phân biệt  d  luôn cắt

 P tại hai điểm phân biệt.

0.5

Do các điểm O và A thuộc đường thẳng : y x   nên để OAMN là hình bình hành

thì 5 2 MN OA = =

Gọi 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) M x x m N x x m     với 1 2 , x x là nghiệm của  1 .

Ta có 1 2

1 2

3

( 4)

x x m

x x m

       

0.5

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 2 ( ) 4 2 4 50 MN x x x x x x m m               

2 2 5 2 2 4 50 50 0

m MN m m m

          

0.5

+ 0 m  thì , , , O A M N thẳng hàng nên không …