Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GDĐT Long An

1/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LONG AN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 5 câu, 2 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 MÔN THI: TOÁN – CẤP THPT NGÀY THI: 31/03/2024 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Lưu ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1 (5,0 điểm):

a) Giải phương trình sau trên tập số thực: ( ) 2 2 2 3 1 2 1 10 3 6 + −= + − x x x x .

b) Giải hệ phương trình ( ) 12 3 25 , 2 + 6

x x y xy y y x y x y x xy

 − + = −  ∈  + = +  .

Câu 2 (5,0 điểm):

a) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh  0 , , , 60 = = = = BC a CA b AB c A và

( ) 2 1 − = − + b c cosB a c . Tính số đo góc B.

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD vuông tại A

và D , có 2 2 = = CD AD AB . Gọi ( ) 2; 4 M là điểm thuộc cạnh AB sao cho

3 = AB AM . Điểm N thuộc cạnh BC sao cho tam giác DMN cân tại M . Phương trình đường thẳng MN là 2 8 0 + − = x y . Tìm tọa độ đỉnh B của hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng : 0 + = d x y và điểm A thuộc đường

thẳng :3 8 0 ′ + − = d x y .

Câu 3 (4,0 điểm):

Cho dãy số

1

* 1

1 ( ) : , . 2

n n n n

u u u u n u +

=   = ∀∈  +  

a) Dãy số ( ) n u là dãy số tăng hay dãy số giảm? Vì sao? b) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u .

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho tập hợp { } 1;2;3;4;5;6;7;8;9 = X . Gọi S là tập hợp các số nguyên dương gồm có sáu chữ số thỏa mãn điều kiện sau: “sáu chữ số của mỗi số nguyên dương trong S lập thành một tập hợp chứa đúng ba phần tử của tập X ”. Tìm số phần tử của tập hợp S .

2/2

Câu 5 (3,0 điểm):

Có hai tàu A và B cùng phía với con đường bờ biển. Biết tàu A, tàu B lần lượt cách con đường bờ biển là 3 hải lí và 6 hải lí; khoảng cách giữa hai tàu A và B là

5 hải lí (như hình vẽ bên dưới). Người ta muốn xây dựng một trạm nhiên liệu dọc theo con đường bờ biển. Hỏi phải đặt trạm nhiên liệu cách tàu A bao nhiêu hải lí để tổng khoảng cách từ trạm nhiên liệu đến hai tàu A và B là ngắn nhất?

………………. Hết ………………. Họ và tên thí sinh:…………………………………. Số báo danh:…………………………………………

Cán bộ coi thi 1 (ký, ghi rõ họ tên) Cán bộ coi thi 2 (ký, ghi rõ họ tên) .…………………………………... …… ………………………………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LONG AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 MÔN THI: TOÁN – CẤP THPT NGÀY THI: 31/03/2024 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Câu 1a

(3,0đ) Giải phương trình sau trên tập số thực: ( )

2 2 2 3 1 2 1 10 3 6. x x x x + −= + −

Điều kiện:

2 2 2 2

≤−    ≥ 

x

x

. 0,5

Đặt 2 2 1, 0. = − ≥ t x t

Ta có: ( ) ( ) 2 2 4 2 3 1 2 3 2 0 1 − + + + − = t x t x x

0,5

( ) 2 ' 3 ∆= − x . 0,25

Khi đó ( )

2 1 2 1 2 2

− =  ⇔ + = 

x t

x t

. 0,25

Với

2

2

1 2 1 2 1 2 1 1 6 2 2 1 ( ) 5 2 2 2 0 4 1 6 ( ) 2

x

x x x t x x n x x

x l

≥    ≥   − −   −+ = ⇒ − = ⇔ ⇔ =     + − =    −− =  

0,5

Với

2 2

2

2 2 2 15 2 2 ( ) 2 1 7 7 2 2 2 0 4 2 2 15 ( ) 7

x

x x x x n t x x x

x n

≥−   ≥−   +  + +   =  = ⇒ − = ⇔ ⇔   − − =    −  =   

0,5

1 6 2 2 15 ; 2 7 S   −+ ±   =      

.

0,5