Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT đợt 1 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Quảng Nam

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2023-2024 ĐỢT 1

ĐỀCHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kểthời gian giao đề) Ngày thi: 29/9/2023

Câu 1 (3,0 điểm). Giải hệphương trình (√x − p

y + 1 + x2 −y2 + x −3y −2 = 0

27x2y + 27x2 −54xy −76x −20y = 22 + 3p

80x + y −7 (x, y ∈R).

Câu 2 (2,0 điểm). Cho dãy số(un) được xác định như sau:

(u1 > 0

un+1 = 1 + u2 n 2u2n , ∀n ∈N∗.

Chứng minh dãy số(un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn (O) lần lượt tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại ba điểm M, N, K. Gọi S, R lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC với hai đường thẳng KN, MN. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MS và KR, đường thẳng AN cắt đường tròn (O) tại điểm thứhai là J.

a) Chứng minh I thuộc (O) và sin \ MKN

sin \ KMN = KI

KJ .

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứhai là D, OD cắt MK tại E. Gọi (T) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với BC tại N. Chứng minh (T) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và EN là đường phân giác của góc BEC.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho p là sốnguyên tốlớn hơn 3.

a) Xét đa thức f(x) = (x + 1)(x + 2) . . . (x + p −1) = xp−1 + ap−2xp−2 + . . . + a1x + (p −1)!.

Chứng minh ai ... p với mọi i = 1, 2, . . . , p −2.

b) Chứng minh (p −1)!

1

p + (p −1)!

2

p + . . . + (p −1)!

p −1

p chia hết cho p3.

Câu 5 (3,0 điểm). Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn

f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x), ∀x, y ∈R.

Câu 6 (2,0 điểm). Tô màu tất cảcác đỉnh của đa giác đều (T) có 12 đỉnh bằng hai màu khác nhau, mỗi đỉnh tô một màu.

a) Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho không có tam giác đều nào mà tất cảcác đỉnh của nó cùng màu (các đỉnh của nó là đỉnh của (T))?

b) Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho có ít nhất một đa giác đều mà tất cảcác đỉnh của nó cùng màu (các đỉnh của nó là đỉnh của (T))?

Câu 7 (3,0 điểm). Cho ba sốthực x, y, z thuộc khoảng (0; 1) và thỏa mãn (1 −x)(1 −y)(1 −z) = xyz.

Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức T = x2

y + y2

z + z2

x + x + y + z.

—HẾT—

*Thí sinh không được sửdụng tài liệu và máy tính cầm tay; cán bộcoi thi không giải thích gì thêm. *Họvà tên thí sinh: .................................................... Sốbáo danh: ...................

Trang 1/10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỢT 1

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm này gồm có 10 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(3,0đ)

Giải hệ phương trình

2 2

2 2 3

1 3 2 0 ( , ) 27 27 54 76 20 22 80 7

x y x y x y x y x y x xy x y x y

          

        

.

3,0

- Điều kiện: 0, 1. x y   - Nhận xét: ( ; ) (0; 1) x y   là nghiệm của hệ. - Xét ( ; ) (0; 1) x y   : Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình

2 2 ( 1) ( ) (2 2 ) 2 0 x y x y x y x y          

1 ( 2)( 1) 0 1 x y x y x y x y           

1 ( 1) 2 0 1 x y x y x y

                

1 y x    (vì 1 2 0 1

x y x y

     

)

Thay 1 y x   vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

3 2 3 27 54 42 2 81 8 x x x x     

 

3 3 3 3 (3 2) (3 2) 81 8 81 8 x x x x         (**)

Hàm số 3 2 ( ) có '( ) 3 1 0, f t t t f t t t      nên hàm số ( ) f t đồng biến trên .

Do đó, 3 pt (**) 3 2 81 8 0 x x x       hoặc 3 2 6 3 x   hoặc 3 2 6 3 x   (loại)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:   0 ; 1  , 3 2 6 2 6 ; 3 3

        

.