Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hà Nam

UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023 - 2024

Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (5,0 điểm).

1. Cho hàm số 3 1 x y x − = + có đồ thị ( ) C . Tìm trên ( ) C các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M

của ( ) C tạo với hai đường tiệm cận của ( ) C một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

2. Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( ) ( )( ) 2024 2 2 ' 3 5 5 1 2 x x f x x x x = − − + − . Tìm tất cả các

giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) ( ) 2 8 g x f x x m = − + có đúng ba điểm cực trị 1 2 3 , , x x x thỏa

mãn 2 2 2 1 2 3 50. x x x + + = Câu II (4,0 điểm).

1. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên ( ) ;x y thoả mãn ( ) 2 2 2 log 2 2 3 0 x y x y xy x y + + + + − − =

và [ ] 0; 2024;2024 x y x + > ∈− ?

2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

( )

( ) ( )

2

1 3 9 2 3

2 1 2

2 1 4 1 log 2log log 2 9 1

2024 1 2 1 2 2 1 . x y

y y y x x x

x y y −

 + + = ⋅  + +   + = + − + 

Câu III (2,0 điểm). Tính tích phân ( ) 4

0

1 cos 4 2sin 2 cos2 d . cos 2 sin 2

x x x x x I x x x

π + + + = + ∫

Câu IV (5,0 điểm).

1. Cho hình chóp có ( ) SA ABCD ⊥ , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và , B

15, 5 AD BC AB = = = . Góc giữa mặt phẳng ( ) SBC và mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 60 . Gọi M là

trung điểm của cạnh và là điểm thỏa mãn 2 ID AI =  

. Gọi , E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh , SB SC . Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng SI và AM . a) Tính thể tích khối tứ diện CDMI và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC . b) Tính thể tích khối nón có đáy là hình tròn ngoại tiếp EFH ∆ và đỉnh thuộc mặt phẳng ( ). ABCD 2. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C , ABC ∆ vuông tại A, 2 AB AC = . Gọi E là điểm thỏa mãn ' 2 EC EC = −  

. Khoảng cách từ điểm ' C đến mặt phẳng ( ) ' A BE bằng 12. Gọi α là góc giữa mặt

phẳng ( ) ' A BE và mặt phẳng ( ) ABC . Tìm cosα để thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C đạt giá trị nhỏ nhất. Câu V (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho các điểm ( ) 9;1; 4 B − − , ( ) 9;7;4 C − .

Trong các ABC ∆ thỏa mãn điểm A thuộc mặt phẳng ( ), Oxy các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B và C vuông góc với nhau sao cho góc A lớn nhất. Viết phương trình mặt cầu đường kính OA với O là gốc tọa độ. Câu VI (2,0 điểm). Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 2 2 2 1 2 3 . x y z x y + + + ≤ +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )

3 2 3 2 3 2 36 36 2 9. 2 1 4 1 2 1 x x y y z z P x y z + + + + + + = + + + + +

-----HẾT----- Họ và tên thí sinh:.................................................................................Số báo danh:............................................................................................... Người coi thi số 1:................................................................................Người coi thi số 2:................................................................................

.S ABCD

SD I

UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023 - 2024 (Hướng dẫn chấm thi có 08 trang) Môn: Toán

HƯỚNG DẪN CHẤM – CHÍNH THỨC I. HƯỚNG DẪN CHUNG

o Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. o Đối với bài toán hình học nếu học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ thì yêu cầu phải vẽ hình, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. o Điểm toàn bài không làm tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu Sơ lược lời giải Điểm

I (5,0 điểm)

1. Cho hàm số 3 1 x y x − = + có đồ thị ( ) C . Tìm trên ( ) C các điểm M sao cho tiếp

tuyến tại M của ( ) C tạo với hai đường tiệm cận của ( ) C một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

2,5

Ta có

( )

2 4 4 1 ' , 1. 1 1 y y x x x = − ⇒ = ≠− + +

Gọi 4 ;1 , 1 1 M a a a   − ≠−   +  

.

Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại M …