Đề học sinh giỏi Toán 12 năm 2023 - 2024 trường THPT Bình Chiểu - TP HCM

1

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM

TRƯỜNG THPT BÌNH CHIỂU

TỔ TOÁN –TIN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn: TOÁN - Lớp 12

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (3,0 điểm) Giải phương trình:

2

2 7

4 4 1 log 4 1 6 2 x x x x x

            

Câu 2. (3,0 điểm) Một người vay tiền ở một ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7% / tháng

với tổng số tiền vay là 1 tỉ đồng. Mỗi tháng người đó đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau

để trừ vào tiền gốc và lãi. Biết rằng đúng 25 tháng thì người đó trả hết gốc và lãi cho ngân hàng.

Hỏi số tiền của người đó trả cho ngân hàng ở mỗi tháng là bao nhiêu?

Câu 3. (3,0 điểm) Một người đàn ông muốn chèo thuyền từ vị trí A tới

điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện càng nhanh càng tốt trên một

bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của

mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể

chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm

D giữa B và C và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền

6km/h, chạy bộ 8km/h và quãng đường BC=8km. Biết tốc độ dòng

nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn

ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn

ông đến B.

Câu 4.(3,0 điểm) Cho hàm số 2 3 1 x y x     có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , biết

tiếp tuyến này cắt hai trục , Ox Oy lần lượt tại hai điểm , A B khác O và 5 4 OA OB  .

Câu 5. (2,0 điểm) Cho hình chóp .S ABC có 4  AB , 2  AC và  120   BAC , SA vuông góc với mặt đáy.

Gọi , M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên , SB SC . Góc giữa mặt phẳng   ABC và

  AMN bằng 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu ?

2

Câu 6. (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt phẳng qua AB và trung

điểm M của SC cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng 7a. Tính thể tích của khối nón có đỉnh

là S và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Câu 7. (3,0 điểm) Cho hàm số 

3 2 f x ax bx cx    có đồ thị  C như hình vẽ. Đường thẳng  : d y g x 

là tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 1. x  Hỏi phương trình  

 

1 0 1 f x g x g x f x    có bao

nhiêu nghiệm?

------ HẾT -----

Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh: …………………………….........……..Số báo danh:………………..…….……

Chữ kí của giám thị 1: …………………….........……...Chữ kí của giám thị 2:……..…….……

ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 12

Câu Đáp án Điểm

1

Điều kiện: 1 0, 2 x x .

Ta có:

2

2 2 2 7 7 7 4 4 1 log 4 1 6 log 4 4 1 4 4 1 log 2 2 2 x x x x x x x x x x x

.

Xét hàm số 7 log f t t t có 1 1 0 ln 7 f t t 0 t nên là hàm số đồng

biến trên 0; .

Do đó ta có 2 2 3 5 4 4 1 2 4 6 1 0 4 x x x x x x .

3,0 điểm

(1,0X3)

2

Gọi M là số tiền vay ban đầu.

Gọi A là số tiền mà hàng tháng người đó trả cho ngân hàng.

Sau tháng 1 dư nợ còn lại là: .1,007 M A −

Sau tháng 2 dư nợ còn lại là: ( )

2 .1,007 .1,007 .1,007 .1,007 M A A M A A − − = − −

Sau tháng 3 dư nợ còn lại là:

( ) ( )

2 2 3 .1,007 .1,007 .1,007 .1,007 . 1,007 1,007 1 M A A A M A   − − − = − + +  .

Sau tháng thứ n dư nợ còn lại là: ( )

1 2 .1,007 . 1,007 1,007 ... 1,007 1 n n n M A

− −   − + + + +  

Vì đúng 25 tháng thì trả hết nợ nên:

( )

24 25 23 1.1,007 . 1,007 1,007 ... 1,007 1 0 A   − + + + + =  

( )

25 24 25 23 25 1,007 1 1,007 . 1,007 1,007 ... 1,007 1 1,007 . 0,007 A A −    = + + + +  =   .

25

25 1,007 .0,007 0,04374151341 1,007 1 A  =  − tỉ đồng 43.741.513  đồng

43.740.000  đồng

3,0 điểm