Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Kon Tum

UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/01/2024 (Đề thi có 01 trang, gồm 07 câu) Câu 1 (3,5 điểm): 1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x m = − + luôn có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó không phụ thuộc vào tham số m . 2. Cho , , a b c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn 2 2024 log 4; log 3; log 2 a c a b b = = = . Tính

giá trị của biểu thức ( ) 2 4 2024 log Q ab c = .

Câu 2 (4,0 điểm): 1. Giải phương trình ( )( ) cos sin 1 sin 2 cos2 x x x x + − = .

2. Cho hàm số ( ) 2 f x x mx = − . Xác định giá trị của m để hàm số ( ) 2 y f x mx = − đạt cực tiểu

tại điểm 0 1 x = .

Câu 3 (2,0 điểm): Điền ngẫu nhiên 10 số tự nhiên đầu tiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào 10 ô vuông trong bảng ở hình vẽ bên dưới (mỗi ô vuông điền đúng một số).

Tính xác suất để ba ô vuông liền kề nhau bất kì có tổng ba số ghi trong ba ô vuông đó chia hết cho 3.

Câu 4 (2,0 điểm): Cho khối lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là một tam giác vuông cân ở B với 2 AC a = . Giả sử mặt phẳng ( )' ABC và mặt phẳng ( ) ' ' A B C vuông góc nhau. Tính thể tích khối

lăng trụ đã cho.

Câu 5 (4,0 điểm): Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ,a  60o ABC = . Biết

SA SB SC = = , góc hợp bởi đường thẳng SD và mặt phẳng ( ) ABCD là 45o .

1. Gọi N là điểm trên cạnh SD . Tìm vị trí của điểm N để đường thẳng AN hợp với mặt phẳng( ) ABCD một góc 45o .

2. Gọi M là trung điểm AB , G là trọng tâm tam giác SCD ∆ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG , CM theo a .

Câu 6 (3,0 điểm):

1. Cho dãy số ( ) n u được xác định 1 1 u = và * 1 2 1 ... 1, n n u u u u n n n + + + + = + + ∀∈. Tính tổng

1 2 2 3 2023 2024

1 1 1 ... . . . S u u u u u u = + + + .

2. Giải hệ phương trình ( )( )

3

2 2 1 1 2

3

y x x

x x x y

 + + − =   − + = + 

.

Câu 7 (1,5 điểm): Cho ba số thực , , x y z thỏa mãn 0, 0, 1 x y z ≥ ≥ ≥ và 2 x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz = . ----------------------------------------- HẾT ----------------------------------------- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không được giải thích gì thêm.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán (Hướng dẫn gồm 07 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI I. HƯỚNG DẪN CHUNG

1) Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm thi mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài giữ nguyên không làm tròn.

II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1.1 (2,0 điểm): Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x m = − + luôn có hai điểm cực trị và

khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó không phụ thuộc vào tham số m .

Đáp án và biểu điểm

Nội dung Điểm Tập xác định D = . 0,25

2 ' 3 6 y x x = − . 0,25

0 ' 0 2 x y x =  = ⇔= 

. 0,25

Suy ra đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị là ( ) 0;2 A m , ( ) 2;2 4 B m − . 0,5

Ta có ( ) 2; 4 AB = − 

. 0,25

Vậy 2 5 AB = không phụ thuộc vào m . 0,5 Câu 1.2 (1,5 điểm): Cho , , a b c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn

2 2024 log 4; log 3; log 2 a c a b b = = = . Tính giá trị của biểu thức ( ) 2 4 2024 log Q ab c = .

Đáp án và biểu điểm

Nội dung Điểm Ta có: + 4 2024 log 4 2024 a a = ⇔ = . 0,25

+ 3 6 2 12 log 3 2024 2024 a b b a b = ⇔ = = ⇔ = . 0,25

+ 2 4 4 3 log 2 2024 c b c b c = ⇔ = ⇔ = . 0,25

Suy ra ( ) ( ) 2 4 2 4 2024 2024 1 log log 2 Q ab c ab c = = . 0,25

( ) 4 12 3 2024 1 log 2024 .2024 .2024 2 = 0,25

19 2024 1 19 log 2024 2 2 = = . 0,25

HƯỚNG DẪN CHÍNH THỨC