Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Lâm Đồng

Trang 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM ĐỒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 NĂM HỌC 2023 - 2024

(Hướng dẫn chấm gồm có 07 trang)

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 26/01/2024

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1

(4.5 điểm)

1.1 (2.5 điểm)

Cho hàm số ( ) 4 5 . mx m f x x m − − = − Tìm tất cả giá trị thực của tham số m

để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 3; + ∞.

TXĐ: { } \ D R m = . Ta có: ( ) ( )

2

2 4 5 ' . m m f x x m

− + + = −

( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) 3; + ∞ ( )

2 4 5 0

3;

m m

m

− + + >  ⇔ ∉ +∞ 

1 5

3

m

m

−< <  ⇔ ≤ 

1 3 m ⇔−< ≤

1.2 (2.0 điểm)

Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 1 y x mx m x = − + − −. Tìm tất cả giá trị thực của tham

số m để hàm số có hai điểm cực trị 1 2 , x x thỏa 2 2 1 2 1 2 12 . x x x x + = +

Đạo hàm: ( ) 2 2 3 6 3 1 . y x mx m ′ = − + −

Ta có: 2 2 9 9 9 9 0, m m m ′ ∆= − + = > ∀ ∈ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị 1 2 , . x x

Theo định lí Viet, ta có

1 2

2 1 2

2

1

x x m

x x m

+ =   = − 

YCBT ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 3 12 4 3 1 12 9 x x x x m m m ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ =

3 m ⇔ = ± .

2.1 (2.5 điểm)

Cho 2 2 log 3; log 5. a b = = Tính 15 log 900 theo ,a b.

Ta có: 2 15 2

log 900 log 900 log 15 = .

( ) ( )

2 2 2 2

2

log 2 .3 .5

log 3.5 = .

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

2 2

log 2 log 3 log 5

log 3 log 5

+ + = +

2 2 2 a b a b + + = + .

Trang 2/7

Câu 2

(4.5 điểm)

2.2 (2.0 điểm)

Cho tập hợp { } 1;2;3;...;20 A = . Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của A. Tính xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành cấp số cộng.

( ) 3 20 n C Ω=

Giả sử 3 phần tử đó là ; ; a b c với , , a b c A ∈ và a b c < < Trong tập A có 10 số lẻ, 10 số chẵn. Do , , a b c lập thành một CSC nên 2 a c b + = là một số chẵn Do đó hai số ,a c cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ứng với 1 cách chọn hai số ,a c thì xác định được duy nhất 1 số b . X là biến cố “ 3 phần tử được chọn lập thành cấp số cộng”.

2 2 10 10 ( ) 90 n X C C = + = .

Vậy xác suất của biến cố X là ( ) 3 20

90 90 3 1140 38 P X C = = = .

Câu 3

(4.0 điểm)

3.1 (2.0 điểm)

Cho hình vuông 1 H có cạnh bằng ( ) 0 a a > . Người ta chia mỗi cạnh hình vuông 1 H thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông 2 H . Từ hình vuông

2 H tiếp tục làm như trên ta nhận được hình vuông 3. H Lặp lại cách chia như trên ta được dãy các hình vuông 1 H , 2 H , 3 H ,…, n H ,…. (tham khảo hình vẽ ở bên). Gọi k S là diện tích của hình vuông { } ( ) 1;2;3;...; ;... k H k n ∈ . Đặt 1 2 3 ... ... n T S S S S = + + + + + . Tìm a biết

16 T = . Gọi cạnh của các hình vuông 1 H , 2 H , 3 H ,…, n H là 1a , 2a , 3a ,…, na

Ta có: 2 2 1 1 S a a = = .

2 2 2

2 2 2 5 5 3 3 3 9 a a a a a S     = + = ⇒ =        

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 5 5 5 3 3 3 9 9 a a a a a a S     = + = ⇒ = =        

Từ đó, ta thấy diện tích các hình vuông giảm dần và lập thành cấp số

nhân có công bội 5 9 q = .

Khi đó:

2 2 1 2 3 2 5 5 ... ... 1 ... 9 9 n T S S S S a   = + + + + + = + + +    

2 2 1 9 5 4 1 9

a a = = −

.

Theo đề: 2 9 8 16 4 3 a a = ⇒ = .