Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 - 2024 sở GDĐT Kiên Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 30/8/2023

Đề thi gồm 01 trang, 04 bài

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho dãy số (????) xác định bởi ??1 = 2 và ????+1 = ????+ 1

???? với (??∈ ℕ∗).

a) Tìm: lim ???? √??⋅

b) Tìm tất cả các số tự nhiên ?? sao cho dãy số (????) xác định bởi:

????= ቀ 1

??1 ቁ ?? + ቀ 1

??2 ቁ ?? + ⋯+ ቀ 1

???? ቁ ?? với ??≥1, là dãy bị chặn.

Bài 2 (5,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số ??: ℝ→ℝ thoả mãn

??(??) ??(????(??) −1) = ??(??2??) −??(??) với mọi ??, ??∈ ℝ.

Bài 3 (5,0 điểm)

a) Cho ?? là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng

(2??−2 −1)??(2??+1 −2) −2(??−1)2 + 2 chia hết cho ??3. b) Cho ?? là một số nguyên lớn hơn 7. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương ?? sao cho 2??≤?? và 4??2 + ?? là một hợp số. Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ?????? (với ????< ????) nội tiếp đường tròn (??), có ?? là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn bàng tiếp góc ?? của tam giác ?????? có tâm là ?? và tiếp xúc với đường thẳng ???? tại điểm ??. Gọi ??, ?? theo thứ tự là trung điểm của ????, ????. Đường tròn có đường kính là ???? cắt đường tròn (??) tại điểm thứ hai ?? khác ??. Chứng minh rằng: ?????? ෣= ?????? ෣.

--------------------HẾT--------------------

• Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm.

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2023-2024

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Đề thi chính thức

Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/8/2023 Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang

I. Hướng dẫn chung

1. Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó.

2. Nếu học sinh có sử dụng các định lý, hệ quả, các kết quả phụ trợ … phổ biến trong các chuyên đề bồi dưỡng HSG và nêu được tên thì giám khảo vẫn chấm đúng.

3. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.

II. Đáp án và thang điểm

Bài Ý Nội dung Biểu điểm 1 (5,0 đ)

a)

Bằng quy nạp, ????> 0 với mọi ??≥1. 0,5

Với mọi ??∈ℕ∗, ta có ????+1 2 > ???? 2 + 2. Từ đó bằng quy nạp ta được: ???? 2 ≥2??+ 2 với mọi ??∈ℕ∗.

0,5

Do đó, ????+1 2 < ???? 2 + 2 + 1

????2 ≤???? 2 + 2 + 1

2??+2 với mọi ??∈ℕ∗.

Thành thử,

???? 2 < 2??+ 3 + ෍ 1 2??+ 2

??−1

??=1

0,5

Nhận xét 1.

lim ??→∞ 1 ??൭෍ 1 2??+ 2

??−1

??=1 ൱= 0.

Chứng minh. Có thể sử dụng định lý trung bình Cesàro hoặc làm như sau:

෍ 1

??√??

??

??=2 < ෍2 ൬ 1

√??−1

−1 ??൰

??−1

??=2 < 2.

Do đó

1 ??൭෍ 1 2??+ 2

??−1

??=1 ൱< 1 ??൭෍1 ??

??−1

??=1 ൱

< 1

√??൭1 + ෍ 1

??√??

??

??=2 ൱< 3

√??→0

0,5

Trang 2/5

Lưu ý. Nếu HS không chứng minh, thì trừ 0.25 đ

Ta có lim

2??+3

?? = 2 và từ Nhận xét 1,

lim 1 ??൭2??+ 3 + ෍ 1 2??+ 2

??−1

??=1 ൱= 2

Do đó, theo nguyên lý kẹp:

lim ???? 2

??= 2

0,5

Bình luận. +/ Học sinh có thể chứng minh dãy tăng, không bị chặn trên để suy ra lim ????= +∞ , từ đó suy ra lim(????+1 2 −???? 2) = 2 và sử dụng định lý Stolz, sẽ ra ngay kết quả. Nếu làm đúng, vẫn cho điểm tối đa. +/ Trong chứng minh Nhận xét 1, học sinh sử dụng định lý trung bình Cesàro để suy ra ngay kết quả của Nhận xét, là được điểm tối đa.

b)

Đầu tiên ta có nhận xét ????> 2 với mọi ??≥1. Từ đó nếu ??≥3 thì ???? ??≥ ???? 3 và nếu ??≤2 thì ???? ??≤ ???? 2. 0,25

Xét ??≥3. Theo ý a), ????

2 ≥2??+ 3 > ??+ 1 nên ????

??≥(??+ 1)√??+ 1 . Thành thử

????≤1 ??1 3 + 1 ??2 3 + ⋯+ 1 ????3 < 1

2√2

+ ⋯+ 1

??√?? < 2

(xem chứng minh trong a)). Vậy dãy (????) bị chặn khi ??≥3.

1,25

Xét ??≤2. Ta có thì ????

??≤ ????

2 nên

????> 1 ??1 2 + ⋯+ 1 ????2.

Mặt khác, theo a), ta có

???? 2 < 2??+ 3 + ෍ 1 2??+ 2

??−1

??=1 < 2??+ 3 + ?? 4 < 6??.

Thành thử:

????> 1 6 ൬1 1 + 1 2 + ⋯+ 1 ??൰.

0,5

Nhận xét 2. Dãy (ℎ??) với

ℎ??= 1 1 + ⋯+ 1 ??

không bị chặn. Thật vậy, nếu (ℎ??) bị chặn thì (ℎ??) có …