Đề thi học sinh giỏi thành phố Toán 12 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30 tháng 9 năm 2023 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số   3 2 2 3 2 1 12     y x m x mx có đồ thị  , m C với m là tham số thực.

1) Khi 1,  m viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt các trục , Ox Oy

lần lượt tại hai điểm phân biệt M và N sao cho 24 . ON OM 

2) Tìm tất cả các giá trị của m để   m C có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành.

Câu II (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình   2 2

2 2

1

, 2 3 7 2 3 5 3

x x x y y y

x y x x

            

với , .  x y

Câu III (3,0 điểm)

Xét tập hợp S gồm tất cả các bộ số   ; ; x y z với , , x y z là các số nguyên dương

không lớn hơn 30.

1) Hỏi có bao nhiêu bộ số   ; ; x y z thuộc tập hợp S thỏa mãn 5? x y z   

2) Lấy ngẫu nhiên một bộ số   ; ; a b c từ tập hợp .S Tính xác suất để lấy được bộ số thỏa mãn

30. a b c  

Câu IV (4,0 điểm)

Cho hình chóp .S ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  , ABC biết 3 SA  và tam

giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 4.

1) Tính số đo của góc giữa mặt phẳng   SBC và mặt phẳng  . ABC

2) Cho điểm I xác định bởi 2 3 4 0.        IA IB IC Xét mặt phẳng   thay đổi đi qua trung

điểm của đoạn thẳng SI và cắt các tia , , SA SB SC lần lượt tại các điểm , , M N P (với , , M N P

không trùng với S ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 4 9 16     T SM SN SP

Câu V (4,0 điểm)

Cho dãy số   nu xác định bởi 1 1  u và 1

6

11 9 3

n n

n

u u

u 

 

với mọi *. n

1) Chứng minh dãy số   nu là dãy số giảm.

2) Với mỗi số nguyên dương ,n đặt 2 2 2 2 1 2 3 ... .      n n S u u u u Tìm lim .  n n S

Câu VI (2,0 điểm)

Xét , , a b c là các số thực dương thỏa mãn   3 1 .    a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  2 2 2 9 .    P abc a b c

--------- Hết --------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh: ………………………

Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi thứ nhất: Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi thứ hai:

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30 tháng 9 năm 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

I (4 điểm)

Cho hàm số   3 2 2 3 2 1 12 y x m x mx     có đồ thị  , m C với m là tham số thực… 4,0

1) Với 1, m  ta có 3 2 2 3 12 y x x x    . Tập xác định . Ta có 

2 6 6 12. f x x x     0,25

Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm. Do hai điểm M, N phân biệt, xét , OMN  ta được

  0 24 ON f x OM    hoặc   0 24. ON f x OM    0,5

TH1:  

0 2 2 0 0 0 0 0

0

3 24 6 6 12 24 6 0 . 2

x f x x x x x x

              

0,25

+) Với 0 3 x , suy ra 0 9 y , ta có PTTT: 24 81. y x  

+) Với 0 2 x , suy ra 0 4 y , ta có PTTT: 24 44. y x   0,5

TH2:  

2 2 0 0 0 0 0 24 6 6 12 24 2 0 f x x x x x           (phương trình vô nghiệm).

KL: Hai tiếp tuyến cần tìm là 24 81 y x   và 24 44. y x   0,5

2) Ta có   2 6 6 2 1 12 y x m x m     , suy ra   2 1 0 2 1 2 0 . 2

x y x m x m x m

         

Để hàm số có hai điểm cực trị thì 1 2 m  

0,5

+) Với 1 x , ta có 6 1. y m  

+) Với 2 x m  , ta có 3 2 8 12 . y m m   0,5

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành thì

yCĐ.yCT < 0       3 2 2 8 12 6 1 0 4 2 3 6 1 0 m m m m m m         (*) 0,5

KL: Tập các giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài là  3 1 ; ; \ 0 . 2 6               

0,5

II (3 điểm)

Giải hệ phương trình   



2 2

2 2

1 1

2 3 7 2 3 5 3 2

x x x y y y

x y x x

            

… 3,0

Điều kiện

2

2 2 2

2 2

0

2 3 7 0 1 0 . 5 2 3 7 0 3 3 5 0

x x

x y y

x x y

x

                      

0,25

Từ phương trình (1), do VT(1) dương nên 0. y 

PT(1)   2 2 1 x x x y y y  …